simux ha scritto mer, 21 giugno 2006 alle 23:41
<p>L'idea di base del concetto di integrale si trova già in <a href="/wiki/Archimede" title="Archimede">Archimede</a> di <a href="/wiki/Siracusa" title="Siracusa">Siracusa</a>, vissuto tra il <a href="/wiki/287" title="287">287</a> eil <a href="/wiki/212" title="212">212</a> a.C, e precisamente nel metodo da lui usato per il calcolo dell'<a href="/wiki/Area" title="Area">area</a> del <a href="/wiki/Cerchio" title="Cerchio">cerchio</a> o del segmento di <a href="/wiki/Parabola_%28geometria%29" title="Parabola (geometria)">parabola</a> detto <a href=" /w/index.php?title=Metodo_di_esaustione& amp; amp;amp;action=edit " class="new" title="Metodo di esaustione">metodo di esaustione</a>.</p>
<p>Nel <a href="/wiki/XVII_secolo" title="XVII secolo">XVII secolo</a>, vari matematici trovarono altri metodi ingegnosi per calcolare l'area sottesa al grafico di semplici funzioni: <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/a/2/1/a 21ffd9939d9ca143acbebad273a76fb.png" alt="x^\alpha (\alpha > - 1)\;" /> (<a href="/wiki/Fermat" title="Fermat">Fermat</a> <a href="/wiki/1636" title="1636">1636</a>), <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/f/b/9/f b903e3b5fb103d917d255df54efcceb.png" alt="1\over x" /> (<a href=" /w/index.php?title=Mercator&acti on=edit " class="new" title="Mercator">Mercator</a>, <a href="/wiki/1668" title="1668">1668</a>).</p>
<p>Tutto ciò prima che <a href="/wiki/Newton" title="Newton">Newton</a>, <a href="/wiki/Leibniz" title="Leibniz">Leibniz</a>, Giovanni <a href="/wiki/Bernoulli" title="Bernoulli">Bernoulli</a> scoprissero indipendentemente il <a href=" /wiki/Teorema_fondamentale_del_calcolo_i ntegrale " title="Teorema fondamentale del calcolo integrale">teorema fondamentale del calcolo integrale</a> che ricondusse tale problema alla ricerca di una primitiva o antiderivata di una funzione.</p>
<p>La definizione di integrale per le funzioni continue in tutto un intervallo, introdotta da <a href=" /w/index.php?title=Pietro_Mengoli&am p;action=edit " class="new" title="Pietro Mengoli">Pietro Mengoli</a> ed espressa con maggiore rigore <a href="/wiki/Cauchy" title="Cauchy">Cauchy</a>, venne posta su base diversa da <a href="/wiki/Riemann" title="Riemann">Riemann</a> in modo da evitare il concetto di limite e da comprendere più estese classi di funzioni. Ma nel <a href="/wiki/1875" title="1875">1875</a> <a href=" /w/index.php?title=Gaston_Darboux&am p;action=edit " class="new" title="Gaston Darboux">Gaston Darboux</a> mostrò con un suo celebre teorema che la definizione di Riemann può essere enunciata in maniera del tutto simile a quella di Cauchy, purchè si intenda il concetto di limite in modo un po' più generale. Per questo motivo si parla di integrale di Cauchy-Riemann. Tale maggior generalità servì di spunto a <a href="/wiki/Mauro_Picone" title="Mauro Picone">Mauro Picone</a> nel <a href="/wiki/1923" title="1923">1923</a> per la definizione del limite d'una variabile detta ordinata.</p>
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<p><a name="Introduzione_euristica" id="Introduzione_euristica"></a></p>
<h2>Introduzione euristica</h2>
<p>Il problema originario del calcolo integrale è quello di calcolare le aree sottese a porzioni di curve definite in un <a href="/wiki/Compatto" title="Compatto">compatto</a>. L'idea di base consiste nel suddividere in intervalli infinitesimi l'<a href="/wiki/Asse_delle_ascisse" title="Asse delle ascisse">asse delle ascisse</a>, prendere un punto campione in ciascun intervallo e moltiplicarlo per l'<a href="/wiki/Immagine" title="Immagine">immagine</a> di tale punto in modo che tale prodotto restituisca l'<a href="/wiki/Area" title="Area">area</a> di un rettangolino; a questo punto, per avere un'approssimazione - anche se grossolana - dell'area sottesa ad una porzione di curva basta sommare le aree dei rettangolini costruiti.</p>
<p>In termini più formali suddividiamo il compatto <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/f/c/5 fc1fbc48b5a353c0095a0f55f520e32.png" alt="\ [a,b]" /> in n intervalli di tipo <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/d/3/b/d 3be2df3b307f3d8fb3347eb3c015980.png" alt="\ (x_{s-1},x_{s})" /> con <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/7/c/e/7 ce684c17e4bcfd74b85030a80ad21de.png" alt="\ s=1,2,...,n" /> e <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/a/b/5/a b5fedabf3d5afab2caaead29154ad70.png" alt="\ x_{0}=a; x_{n}=b" />. Prendiamo ora in ciascun intervallo un punto <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/e/5/d/e 5d09d9a80113ea4385c481b2336907f.png" alt="\ t_s" /> tale che l'immagine di tale punto sull'<a href="/wiki/Asse_delle_ordinate" title="Asse delle ordinate">asse delle ordinate</a> è <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/d/b/1/d b1f42c3f4b1307d1056dc110137ecbd.png" alt="\ f(t_{s})" />; l'area data dalla somma dei rettangolini sottesi alla curva <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/1/9/3 19465f11b6d57c3ba7f1783c2f1d160.png" alt="\ f(x)" /> definita nel compatto <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/f/c/5 fc1fbc48b5a353c0095a0f55f520e32.png" alt="\ [a,b]" /> è data dalla somma (detta di Cauchy-Riemann)</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/f/2/5 f2cfdcf9d69b1986a9cac28574e6c7d.png" alt="\sum_{s=1}^{n} f(t_{s})(x_{s}-x_{s-1})*:= \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \delta x_s" /></center>
<p>al diminuire dell'ampiezza degli intervalli <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/0/b/0/0 b0f911570fe8684553f46d9054574ad.png" alt="\ \delta x_s" /> l'approssimazione tende verso il valore vero dell'area sottesa alla curva <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/1/9/3 19465f11b6d57c3ba7f1783c2f1d160.png" alt="\ f(x)" /> definita nel compatto <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/f/c/5 fc1fbc48b5a353c0095a0f55f520e32.png" alt="\ [a,b]" />.</p>
<p>L'intera analisi poggia sul fatto che sia il modo di suddividere gli intervalli, sia la scelta dei punti interni a tali intervalli devono <i>risultare irrilevanti</i>, altrimenti si avrebbe che l'area sottesa alla curva in un dato intervallo risulta diversa a seconda delle scelte effettuate in merito alla suddivisione degli intervalli e ai punti interni agli intervalli che sono stati scelti. Tale condizione sussiste in quanto la curva è <a href="/wiki/Continuit%C3%A0_uniforme" title="Continuità uniforme">uniformemente continua</a> all'interno del singolo intervallino in cui è stato suddiviso il compatto.</p>
<p>Infatti, se vale la continuità uniforme, presi due punti <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/e/5/d/e 5d09d9a80113ea4385c481b2336907f.png" alt="\ t_s" /> e <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/7/b/2/7 b252e1df2ab4137568a4e21e29f1eb6.png" alt="\ t'_s" /> interni all'intervallo <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/d/3/b/d 3be2df3b307f3d8fb3347eb3c015980.png" alt="\ (x_{s-1},x_{s})" />, ove <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/b/d/4/b d406597404d6294d603b0bc11f1ab76.png" alt="\ x_{s}-x_{s-1}=\delta x" /> e pertanto il numero di tali intervallini (dato che suddividiamo [a,b] in intervalli di ampiezza <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/2/1/7/2 17715a251a5de1b3d09a0b18a9e14eb.png" alt="\ \delta x" />) sarà pari ad<br />
<img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/a/6/7/a 671f258ccc16da90414f10930aae04d.png" alt="n = {{(b - a)} \over {\delta x}}" /><br />
le altezza dei relativi rettangoli <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/d/b/1/d b1f42c3f4b1307d1056dc110137ecbd.png" alt="\ f(t_{s})" /> ed <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/d/8/3/d 83c606858108e364b1f9a37da48919f.png" alt="\ f(t'_{s})" /> differiranno della quantità <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/6/0/9/6 09f1235241e9edc81e39798fc797dd8.png" alt="\ \delta f(t_{s})" />. Da ciò discende che, se poniamo <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/0/2/3 021a0993f1a2a9de2ca82f5469e4370.png" alt="\ \delta f(t)" /> come la più grande delle quantità <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/d/4/9/d 49d5b6e1cf443dc5eba761de95c9cef.png" alt="\ |\delta f(t_{s})|" /> la differenza di valutazione dell'area del generico rettangolino conseguente alla scelta del punto <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/e/5/d/e 5d09d9a80113ea4385c481b2336907f.png" alt="\ t_s" /> o del punto <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/7/b/2/7 b252e1df2ab4137568a4e21e29f1eb6.png" alt="\ t'_s" /> è al massimo di <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/b/8/9/b 89da5637c951b08447149e2740cb64b.png" alt="\ \delta f(t) \delta x" />.<br />
La differenza di valutazione della somma di s rettangolini (in cui ricordiamo che <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/a/6/7/a 671f258ccc16da90414f10930aae04d.png" alt="n = {{(b - a)} \over {\delta x}}" />) è al massimo pari a*:<br /></p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/4/6/5 46977a1ce0e0362ff555c5151a27dc6.png" alt="\ {{(b - a)} \over {\delta x}} \delta f(t) \delta x= (b-a) \delta f(t)" /></center>
<p><br /></p>
<p>Come è facile notare tale discrepanza di valutazione diminuisce al tendere a zero dell'ampiezza del generico intervalli in cui è suddiviso <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/f/c/5 fc1fbc48b5a353c0095a0f55f520e32.png" alt="\ [a,b]" /> essendo per ipotesi la funzione uniformemente continua.</p>
<div class="editsection" style="float:right;margin-left:5px;">[ <a href=" /w/index.php?title=Integrale&act ion=edit§ion=3 " title="Modifica della sezione: Integrale di Riemann">modifica</a>]</div>
<p><a name="Integrale_di_Riemann" id="Integrale_di_Riemann"></a></p>
<h2>Integrale di Riemann</h2>
<table style="margin-bottom:.5em; border:1px solid #CCC; text-align:left; font-size:95%; background:#F9F9F9">
<tr>
<td style="padding: 0 .5em"><a href="/wiki/Immagine:Nuvola_apps_xmag.png " class="image" title=""><img src="
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/co mmons/thumb/6/61/Nuvola_apps_xmag.png/18 px-Nuvola_apps_xmag.png" alt="" width="18" height="18" longdesc="/wiki/Immagine:Nuvola_apps_xmag.png " /></a></td>
<td width="100%"><i>Per approfondire, vedi la voce <b><a href="/wiki/Integrale_di_Riemann" title="Integrale di Riemann">integrale di Riemann</a></b>.</i></td>
</tr>
</table>
<div class="thumb tright">
<div style="width:252px;"><a href="/wiki/Immagine:Riemann.gif" class="internal" title="Rappresentazione grafica dell'integrale di Riemann"><img src="
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/co mmons/thumb/e/ee/Riemann.gif/250px-Riema nn.gif" alt="Rappresentazione grafica dell'integrale di Riemann" width="250" height="134" longdesc="/wiki/Immagine:Riemann.gif" /></a>
<div class="thumbcaption">
<div class="magnify" style="float:right"><a href="/wiki/Immagine:Riemann.gif" class="internal" title="Ingrandisci"><img src=" /skins-1.5/common/images/magnify-clip.pn g " width="15" height="11" alt="Ingrandisci" /></a></div>
Rappresentazione grafica dell'integrale di Riemann</div>
</div>
</div>
<p>Se si suddivide tramite una <a href="/wiki/Partizione_di_un_intervallo " title="Partizione di un intervallo">partizione</a> un compatto <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/f/c/5 fc1fbc48b5a353c0095a0f55f520e32.png" alt="\ [a,b]" /> in n sottointervalli <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/1/6/5/1 652950806313ef6410afe7065ffb138.png" alt="\ [x_{s},x_{s-1}]" /> d'uguale ampiezza <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/7/d/3 7d142f853c7669748a451c0a2920b41.png" alt="\delta x = {{(b - a)} \over {n}}" />, e si sceglie in ogni intervallo un punto arbitrario <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/e/5/d/e 5d09d9a80113ea4385c481b2336907f.png" alt="\ t_s" /> è possibile confezionare la somma <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/6/7/4/6 74dcb399ba31d09cda9d49bfa3cc5d7.png" alt="\ \sigma_{n}= \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \delta x_{s}= {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})" /> detta <i>somma integrale di <a href="/wiki/Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann " title="Georg Friedrich Bernhard Riemann">Riemann</a></i>.</p>
<p>Esiste un altro metodo di procedura per la costruzione dell'integrale. Una volta effettuata la partizione il punto <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/e/5/d/e 5d09d9a80113ea4385c481b2336907f.png" alt="\ t_s" /> non è arbitrario. Vengono definiti due punti:</p>
<ul>
<li><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/1/f/2/1 f239fe3ab6619963bef217f3b488150.png" alt="m_k = inf f(x): x \in [x_{k-1},x_k] \equiv inf_{[x_{k-1},x_k]} f(x)" /></li>
</ul>
<ul>
<li><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/e/b/d/e bd0b3d86d898fb4e1365f5f1be419a2.png" alt="M_k = sup f(x): x \in [x_{k-1},x_k] \equiv sup_{[x_{k-1},x_k]} f(x)" /></li>
</ul>
<p>Questi due punti corrispondono all'ordinata minore nell'intervallo (m_k) e all'ordinata maggiore dell'internvallo (M_K).</p>
<p>Si definisce <b>somma integrale inferiore</b> (relativa alla partizione P):</p>
<p><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/c/c/0/c c0cee6c58cced206c38ef9417c1872c.png" alt="s(P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1})" /></p>
<p>Ammettendo che f assuma valori positivi nell'intervallo, la s(P) è la somma dei rettangoli inscritti alla regione del piano.</p>
<p>Si definisce <b>somma integrale superiore</b> (relativa alla partizione P):</p>
<p><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/8/9/f/8 9f0bdf8c00a392d428f6c1eddab4e2f.png" alt="S(P) = \sum_{k=1}^n M_k (x_k-x_{k-1})" /></p>
<p>Analogamente su quanto detto prima, S(P) è la somma delle aree dei triangoli circoscritti alla regione R.</p>
<p><b>Lemma</b>: Sia <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/a/5/3 a551df35f899fec5145bec203b4e655.png" alt="m_k \leq f(x) \leq M_k \ \forall x \in [a,b]" /> allora per ogni coppia di partizioni P,Q di [a,b] si ha:</p>
<p><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/8/e/8/8 e8c0bb0fb7a103843637f3adfe2f8b2.png" alt="m(b-a) \leq s(P) \leq S(Q) \leq M (b-a)" />.</p>
<p>Siano</p>
<p><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/9/a/9/9 a967cdef4ff4d76320a98bb597aef87.png" alt="\delta = s(p) \ \forall P" /> partizione di [a,b]</p>
<p><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/f/9/5 f99778adce1d68b62dfb15395bb8ba0.png" alt="\Sigma = S(p) \ \forall P" /> partizione di [a,b]</p>
<p>Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/4/0/4/4 045beec4747beaf084fa9e5d3e3f079.png" alt="\delta, \ \Sigma" /> sono separati cioè:</p>
<p><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/a/1/4/a 1499c1ba31d9627cb34fc1973c27d04.png" alt="\forall s \in \delta, \ \forall S \in \Sigma" /> si ha che <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/b/5/4/b 546c51ed93be63f0f1d758ac51d43ba.png" alt="s \leq S" />.</p>
<p>L'assioma di completezza di R afferma allora che esiste almeno un numero reale <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/d/0/5/d 055965ae6341f8694574ca4f70273dc.png" alt="\xi \in \R" /> tale che:</p>
<p><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/e/0/6/e 069e7e484591c743532a89d27bbfac3.png" alt="s \leq \xi \leq S \ \forall s \in \delta \ \forall S \in \Sigma" /></p>
<p>Se vi è un unico elemento di separazione <span class="texhtml">ξ</span> tra <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/4/0/4/4 045beec4747beaf084fa9e5d3e3f079.png" alt="\delta, \ \Sigma" /> allora si dice che f(x) è integrabile in [a,b] secondo Riemann e l'elemento <span class="texhtml">ξ</span> si indica con:</p>
<p><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/d/b/c/d bc89da7af880f43c143e7cf320bf930.png" alt="\int_{a}^{b} f(x) dx" /></p>
<p>e si chiama integrale definito di f in [a,b]. I numeri a,b sono detti estremi di integrazione ed f è detta funzione integranda (a primo estremo, b secondo estremo). La variabile di integrazione è una variabile muta cioè <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/9/1/0/9 1038a58fac677525eea0c095dffe4ae.png" alt="\int f(x)dx" /> ha lo stesso significato <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/e/0/3 e09e42b3d8197ddcc715d6ccffc1d30.png" alt="\int f(t)dt" />, <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/4/2/8/4 2845345fedd87035a10ba37ae58ca77.png" alt="\int f(j)dj" />. Il dx è detto differenziale della variabile di integrazione.</p>
<div class="editsection" style="float:right;margin-left:5px;">[ <a href=" /w/index.php?title=Integrale&act ion=edit§ion=4 " title="Modifica della sezione: Definizione">modifica</a>]</div>
<p><a name="Definizione" id="Definizione"></a></p>
<h3>Definizione</h3>
<p><b>Definizione (Integrale secondo Riemann)</b> - L'<i>integrale</i> di <i>f</i> nell'intervallo chiuso è limitato <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/f/c/5 fc1fbc48b5a353c0095a0f55f520e32.png" alt="\ [a,b]" /> è il limite per n che tende ad infinito della somma integrale <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/b/e/e/b ee8a1488dfd9b9fe379bae726da9ac2.png" alt="\ \sigma_{n}={{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})" />, se tale limite esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/e/5/d/e 5d09d9a80113ea4385c481b2336907f.png" alt="\ t_s" />:</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/9/d/6/9 d6877f6d0ff1117102e999f865dc2db.png" alt="\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n}= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})" /></center>
<p>L'esistenza di un unico elemento separatore tra <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/c/3/7/c 370247302bb9416d3dbbf326a6c625f.png" alt="\delta \ \Sigma" /> nella definizione precedente è equivalente a richiedere che:</p>
<p><span class="texhtml"><i>s</i>(<i>f</i >) = <i>S</i>(<i>f</i>)</span></p>
<p>in questo caso:</p>
<p><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/4/b/5 4b8e2a3e2ae3d3e4b76190fc7f39a91.png" alt="s(f) = S(f) = \int_{a}^{b}f(x)dx" /></p>
<p>La funzione limitata f(x) è integrabile in [a,b] se e solo se</p>
<p><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/3/c/5 3cb394ffe46f20423ae52f4e92dd7cd.png" alt="\forall \epsilon \,>\, 0 \exists P \in [a,b] \to S(P) - s(p) < \epsilon" /></p>
<p>Se la funzione integrabile f(x) è positiva allora l'integrale assume il significato di area della regione:</p>
<p><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/4/8/4/4 84224969db1af9af852b2ca7469fa6d.png" alt="r = {(x,y),0 \leq y \leq f(x), x \in [a,b]}" />.</p>
<p>Se la funzione f cambia segno su [a,b] allora l'integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.</p>
<div class="editsection" style="float:right;margin-left:5px;">[ <a href=" /w/index.php?title=Integrale&act ion=edit§ion=5 " title="Modifica della sezione: Condizione d'integrabilità">modifica</a>]</div>
<p><a name="Condizione_d.27integrabilit.C3.A0 " id="Condizione_d.27integrabilit.C3.A0"> </a></p>
<h2>Condizione d'integrabilità</h2>
<p>La seguente è condizione sufficiente ai fini dell'integrabilità di una funzione</p>
<p>Se la funzione <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/2/1/c/2 1c39fb96e7c1e088ebe0658afcb81d0.png" alt="\ f:[a,b] \to \R" /> è continua (e quindi continua uniformemente), allora è integrabile.</p>
<p>Per provare ciò si suddivide l'intervallo <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/f/c/5 fc1fbc48b5a353c0095a0f55f520e32.png" alt="\ [a,b]" /> in n sottointervalli <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/8/1/9/8 19fee1e131a982a842e4a827fdc3783.png" alt="\ [x_{i-1},x_{i}]" /> di uguale ampiezza <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/7/d/3 7d142f853c7669748a451c0a2920b41.png" alt="\delta x = {{(b - a)} \over {n}}" />, si sceglie in ogni intervallo un punto <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/7/4/0/7 408a1799f04efb3f39b34c1af94b9f7.png" alt="\ t_{i}" /> interno a <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/8/1/9/8 19fee1e131a982a842e4a827fdc3783.png" alt="\ [x_{i-1},x_{i}]" /> e si confeziona la somma integrale</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/6/7/4/6 74dcb399ba31d09cda9d49bfa3cc5d7.png" alt="\ \sigma_{n}= \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \delta x_{s}= {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})" /></center>
<p>.</p>
<p>Ponendo <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/e/6/3/e 63cefd41f3b9180049d701bcc71dd59.png" alt="\ M_i" /> ed <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/c/7/3 c7c33ed656796877ebc736b649f36b2.png" alt="\ m_i" /> il massimo ed il minimo di <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/6/1/6/6 16fb717ed0ab1dbf5ded834a72ae83e.png" alt="\ f" /> in ogni intervallo <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/8/1/9/8 19fee1e131a982a842e4a827fdc3783.png" alt="\ [x_{i-1},x_{i}]" /> si costruiscono quindi le somme</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/e f5f81d012ac1b2147f1c47a92e5a534.png" alt="\ S_{n}= \sum_{i=1}^{n} M_{i}(x_{i}-x_{i-1})" /></center>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/6/e/a/6 ea4b6d047e2bae6bea4e15558fcc3ec.png" alt="\ s_{n}= \sum_{i=1}^{n} m_{i}(x_{i}-x_{i-1})" /></center>
<p>Ovviamente si ha che all'aumentare di n <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/e/6/b/e 6b99441ef77ae2cb56d2f804bf61be5.png" alt="\ S_{n}" /> diminuisce, mentre <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/9/d/5/9 d5a53f438220c0f188e03ae5be3c4d9.png" alt="\ s_{n}" /> cresce. Essendo allora le due <a href="/wiki/Successione_%28matematica%29 " title="Successione (matematica)">successioni</a> <a href="/wiki/Funzione_monotona" title="Funzione monotona">monotone</a>, esse ammettono un limite, il quale è finito. Essendo ora <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/f/6/c/f 6cab615f9c438c65665e55de959b55c.png" alt="\ m_{i} \le f(t_{i}) \le M_{i}" />, si avrà che <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/f/f/3 ff44539b9c5b300bee404676bfa2048.png" alt="\ s_{n} \le \sigma_{n} \le S_{n}" /></p>
<p>Per il teorema di [[Limite (matematica)#Limite di funzioni da <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/8/9/3 89c3b6031b189ab76b433e703c44618.png" alt="\reals \,\!" /> a <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/8/9/3 89c3b6031b189ab76b433e703c44618.png" alt="\reals \,\!" />|esistenza del limite di successioni monotone]] risulta <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/7/5/7/7 570723a8a0faebb63364f08a055f9ab.png" alt="\ s_{n} \to s" /> ed <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/6/a/1/6 a126f8d3906c0a3021651ab9c18c5c1.png" alt="\ S_{n} \to S" />, con <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/1/8/e/1 8e1e1b3a4863a364487ef7ce89a74f2.png" alt="\ s \le S" />. All'affinarsi della partizione di <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/f/c/5 fc1fbc48b5a353c0095a0f55f520e32.png" alt="\ [a,b]" /> risulta <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/1/d/3 1d47a1a3b9e385506c7e88e5a825b3a.png" alt="\ s = S" />. Infatti è possibile fissare un <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/e/4/5 e4d1881448a9a37047264c2efcab2f7.png" alt="\ \epsilon" /> piccolo a piacere ed un numero di suddivisioni della partizione sufficientemente grande da far risultare</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/7/2/d/7 2d2d0eca1e5e51e5ab20f50219b05b6.png" alt="\ S_{n}-s_{n}= \sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1 })< \epsilon" /></center>
<p>Infatti, per la continuità uniforme di f, la differenza <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/a/d/3/a d3f7b58a286240c3da217a42833e47c.png" alt="\ M_{i}-m_{i}" /> minore di <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/4/a/1/4 a16bc8771a54079f64f7e151f5267dc.png" alt="\ {{ \epsilon} \over {(b-a)}}" />, se la distanza dei rispettivi punti di massimo e di minimo è minore di un <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/4/7/3 4712be3047d3330d96255b65d24a76f.png" alt="\ \lambda" /> opportunamente scelto, il quale può essere determinato in dipendenza da <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/e/4/5 e4d1881448a9a37047264c2efcab2f7.png" alt="\ \epsilon" />. Ovvero per un numero di n suddivisioni abbastanza elevato si ha</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/9/4/a/9 4a887879ce9f2240918e710f940230e.png" alt="\ S_{n}-s_{n}= \sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1 })< {{ \epsilon} \over {(b-a)}} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1}) = \epsilon" /></center>
<p>.</p>
<p>Essendo la precedente espressione valida anche definitivamente, per il teorema del confronto delle successioni si avrà:</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/6/3/f/6 3fb59954575eea845a002bb40eb5c1c.png" alt="\ \lim_{n \to + \infty} (S_{n}-s_{n}) \le \epsilon" /></center>
<p>ovvero</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/c/b/3/c b365f908c8754fd392430db5c16ae00.png" alt="\ S-s \le \epsilon" /></center>
<p>da cui, data l'arbitrarietà del fattore <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/e/4/5 e4d1881448a9a37047264c2efcab2f7.png" alt="\ \epsilon" /> risulta che con il passaggio al limite la differenza tra le somme integrali massimante e minimante tende a zero, da cui:</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/2/d/9/2 d94b79cb65a4d1de6f04c94722ca958.png" alt="\ S=s=I" /></center>
<p>Finalmente essendo <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/f/f/3 ff44539b9c5b300bee404676bfa2048.png" alt="\ s_{n} \le \sigma_{n} \le S_{n}" />, per il teorema del confronto risulta <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/3/7/c/3 7c8c7a69680174072cd069031e6c118.png" alt="\ \sigma_{n} \to I" /> da cui si deduce che se la funzione integranda è continua su un compatto <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/f/c/5 fc1fbc48b5a353c0095a0f55f520e32.png" alt="\ [a,b]" />, l'operazione di integrazione non dipende dalla scelta dei punti interni agli intervalli <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/8/1/9/8 19fee1e131a982a842e4a827fdc3783.png" alt="\ [x_{i-1},x_{i}]" />, ovvero la funzione è integrabile.</p>
<p>Non tutte le funzioni limitate sono integrabili.</p>
<p>La continuità è una condizione sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità.</p>
<div class="editsection" style="float:right;margin-left:5px;">[ <a href=" /w/index.php?title=Integrale&act ion=edit§ion=6 " title="Modifica della sezione: Proprietà degli integrali">modifica</a>]</div>
<p><a name="Propriet.C3.A0_degli_integrali" id="Propriet.C3.A0_degli_integrali"></a ></p>
<h2>Proprietà degli integrali</h2>
<div class="editsection" style="float:right;margin-left:5px;">[ <a href=" /w/index.php?title=Integrale&act ion=edit§ion=7 " title="Modifica della sezione: Linearità">modifica</a>]</div>
<p><a name="Linearit.C3.A0" id="Linearit.C3.A0"></a></p>
<h3>Linearità</h3>
<p>Siano <i>f</i> e <i>g</i> due funzioni continue definite in un intervallo <i>[a, b]</i> e siano <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/8/0/6/8 068c37531a307cd590451fb890875bb.png" alt="\alpha, \beta \in \mathbb{R}" />. Allora: <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/3/b/5 3b0b3680226467b3457be6dc25e5625.png" alt="\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx" /></p>
<p><i><b>Prova</b></i>: Dalla definizione si ha che</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/4/2/8/4 28e21b9b7506a52f42e98a5b4349d49.png" alt="\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} [\alpha f(t_{s}) + \beta g(t_{s})]" /></center>
<p>da cui</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/7/7/b/7 7b2a26d2eef0ae9d11c5f4c2fe6c0a6.png" alt="\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} [\alpha \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) + \beta \sum_{s=1}^{n} g(t_{s})]" /></center>
<p>dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/e/0/c/e 0c9375aa30e771b1160700845bc1921.png" alt="\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \alpha \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) + \beta \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} g(t_{s})" /></center>
<p>da cui discende la proprietà di linearità</p>
<div class="editsection" style="float:right;margin-left:5px;">[ <a href=" /w/index.php?title=Integrale&act ion=edit§ion=8 " title="Modifica della sezione: Additività">modifica</a>]</div>
<p><a name="Additivit.C3.A0" id="Additivit.C3.A0"></a></p>
<h3>Additività</h3>
<p>Sia <i>f</i> continua e definita in un intervallo <i>[a, b]</i> e sia <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/0/0/a/0 0a49aece4cc72157b51ca282347a0f8.png" alt="c \in [a, b]" />. Allora: <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/1/1/2/1 121d487e39c62b448d7e200dbd76067.png" alt="\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx" /></p>
<p><br />
<i><b>Prova</b></i>: Dalla definizione si ha che</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/1/d/f/1 df391b28a3965f85f7acd8120e0cd05.png" alt="\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_(s))" /></center>
<p>da cui se si ha <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/7/d/6/7 d6fbd8c018e49c5240496e1b6192151.png" alt="\ c \in [a,b]" /> esistono un valore <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/1/0/8/1 085b4cad24b8792a98a689c26390907.png" alt="\ h" /> ed un valore <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/5/c/4/5 c4a9ee0ca645652439e0246ae78c456.png" alt="\ k" /> la cui somma è <img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/9/5/a/9 5ae10911ccd94b57da5535ac94fec03.png" alt="\ n" /> tali che per un affinamento sufficiente della partizione risulti</p>
<center><img class='tex' src="
http://upload.wikimedia.org/math/a/e/6/a e670c6fe14e3dd56cdedcaeec51a224.png" alt="\ {{b-c} \over {h}} = {{c-a} \over {k}} = \delta x" /></center>
<p><br /></p>
Re: ravviviamo j4s! [Circolino delle distorte conseguenze della saggezza]
per De Rossi
per Zaccardo
allucinante
la città della scienza è per bambini di scuole elementari e medie... che pretendevi ? i momenti di forza ?
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