L'angoletto dei problemi matematici e fisici

[Gordon Freeman]

mi serve una mano (scusate la fretta )
sono un niubbo degli integrali..


non riesco nemmeno a partire per risolvere questo integrale INDEFINITO


INTEGRALE di [ cos^3(x+1) * sin (x ) dx ]

[fryderyk69]

Riporto filo per segno un testo di un esame, ho qualche dubbio sulla risoluzione del terzo punto


Una piattaforma circolare omogenea, rigida, di massa M, raggio R e spessore trascurabile, in quiete rispetto a un sistema di riferimento inerziale, è appoggiata in assenza di attrito su un piano orizzontale. Un proiettile, di massa m=M/2 e velocità di modulo v, viene sparato tangenzialmente alla piattaforma in modo tale che si conficchi nel suo bordo. Determinare le espressioni delle seguenti grandezze fisiche in un istante generico t successivo all'urto:
a) la velocità di traslazione VCM del centro di massa del sistema;
b) scelto nel piano orizzontale un sistema di assi cartesiani (x, y) con l'asse x coincidente con la direzione
d'incidenza del proiettile, la coordinata ycm del centro di massa del sistema, e il suo momento d'inerzia
Icm rispetto a un asse perpendicolare al piano e passante per il centro di massa;
e) assumendo che nel sistema di riferimento prescelto l'asse x passi per il centro di massa del sistema, la velocità angolare di rotazione co del sistema.

Per i primi due punti ho preso come sistema di riferimento l’asse x diretto come la velocità del proiettile e l’origine degli assi nel punto in cui il proiettile colpisce la piattaforma

1) Conservazione quantità di moto trovo la Vcm= v/3
2) Definizione cordinate centro di massa ycm=2/3*R
Momento di inerzia rispetto al centro di massa del sistema uso Huygens-Steiner Icm=5/6*MR^2

Per il terzo punto ho avuto qualche problema o meglio o pensato due possibili strade
a) conservazione energia meccanica e ho impostato la seguente equazione:
½ M/2* v^2 = 1/2Icm *w^2+1/2M(tot)Vcm^2
Al posto di di Vcm ho sostituito quella al punto 1 ed ho ottenuto w=sqrt(2/5)*v/R

b)Conservazione momento angolare imposto la seguente equazione:

Icmw=M/2*v*2/3R

e ottengo w=2/5*v/R

Dove sbaglio ? Forse non posso applicare una delle due conservazioni o forse dimentico qualcosa?

[Buffalmacco]

Gordon Freeman ha scritto mar, 08 marzo 2005 alle 19:06
mi serve una mano (scusate la fretta )
sono un niubbo degli integrali..


non riesco nemmeno a partire per risolvere questo integrale INDEFINITO


INTEGRALE di [ cos^3(x+1) * sin (x ) dx ]

dunque... per parti non ce la fai... perche' i due argomenti sono diversi... applicando piu' volte le formule di prostaferesi riesci a linearizzare l'espressione? (non farlo fare a me, sono in ca.zzeggio...)

[Buffalmacco]

fryderyk69 ha scritto mer, 09 marzo 2005 alle 16:34
Riporto filo per segno un testo di un esame, ho qualche dubbio sulla risoluzione del terzo punto


Una piattaforma circolare omogenea, rigida, di massa M, raggio R e spessore trascurabile, in quiete rispetto a un sistema di riferimento inerziale, è appoggiata in assenza di attrito su un piano orizzontale. Un proiettile, di massa m=M/2 e velocità di modulo v, viene sparato tangenzialmente alla piattaforma in modo tale che si conficchi nel suo bordo. Determinare le espressioni delle seguenti grandezze fisiche in un istante generico t successivo all'urto:
a) la velocità di traslazione VCM del centro di massa del sistema;
b) scelto nel piano orizzontale un sistema di assi cartesiani (x, y) con l'asse x coincidente con la direzione
d'incidenza del proiettile, la coordinata ycm del centro di massa del sistema, e il suo momento d'inerzia
Icm rispetto a un asse perpendicolare al piano e passante per il centro di massa;
e) assumendo che nel sistema di riferimento prescelto l'asse x passi per il centro di massa del sistema, la velocità angolare di rotazione co del sistema.

Per i primi due punti ho preso come sistema di riferimento l’asse x diretto come la velocità del proiettile e l’origine degli assi nel punto in cui il proiettile colpisce la piattaforma

1) Conservazione quantità di moto trovo la Vcm= v/3
2) Definizione cordinate centro di massa ycm=2/3*R
Momento di inerzia rispetto al centro di massa del sistema uso Huygens-Steiner Icm=5/6*MR^2

Per il terzo punto ho avuto qualche problema o meglio o pensato due possibili strade
a) conservazione energia meccanica e ho impostato la seguente equazione:
½ M/2* v^2 = 1/2Icm *w^2+1/2M(tot)Vcm^2
Al posto di di Vcm ho sostituito quella al punto 1 ed ho ottenuto w=sqrt(2/5)*v/R

b)Conservazione momento angolare imposto la seguente equazione:

Icmw=M/2*v*2/3R

e ottengo w=2/5*v/R

Dove sbaglio ? Forse non posso applicare una delle due conservazioni o forse dimentico qualcosa?

qui l'energia non si conserva, mentre il momento angolare ovviamente si'.
L'urto e' completamente ANAELASTICO perche' i due oggetti rimangono attaccati. L'energia che viene dispersa e' andata a deformare i due oggetti (fa il buco insomma)

Di solito in problemi come questo una domanda tipica e' infatti quanta energia e' andata dispersa

[fryderyk69]

Qundi la risposta giusta è quella con il momento angolare, mi puoi dire anche se ho impostato bene l'equazione?
inizialmente ho solo momento angolare dovuto al proiettile, ma va bene calcolarlo rispetto al centro di massa che avrò una volta che il proiettile colpisce il disco?


Per quanto riguarda gli urti, se questo fosse completamente elastico l'energia si conserverebbe?
E comunque per un urto completamente anaelastio la quantità di moto si conserva o no?

che casino che ho in testa!!!

[rattilus]

Buffalmacco ha scritto mar, 08 marzo 2005 alle 17:31

rattilus ha scritto mar, 08 marzo 2005 alle 17:26

Buffalmacco ha scritto mar, 08 marzo 2005 alle 17:24
pi sta per pi greco o per la variabile?
se e' pigreco manca almeno una x per essere una equazione

sta per pi greco... no l'ho controllata è così, il risultato è 4.

ah, ok e' una espressione allora...

beh capisco che se non hai cominciato trigonometria ti sembra una cosa assurda, in realta' e' una banalita'. Basta sostituire i valori giusti dei seni: sen(pi/2)=1 sen(pi)=sen 0=0 sen (3pi/2)=-1

asp che te lo spieghino perche', oppure vatti a leggere la teoria, queste sono i primi rudimenti di trigonometria.

sempre sulle espressioni...
Se mi trovo 5/2pi
mi conviene fare una proporzione del genere?
pi/2:1=5/2pi:x

altrimenti non so quant'è 5/2 pi greco....

[rattilus]

rattilus ha scritto mer, 09 marzo 2005 alle 17:59

Buffalmacco ha scritto mar, 08 marzo 2005 alle 17:31

rattilus ha scritto mar, 08 marzo 2005 alle 17:26

Buffalmacco ha scritto mar, 08 marzo 2005 alle 17:24
pi sta per pi greco o per la variabile?
se e' pigreco manca almeno una x per essere una equazione

sta per pi greco... no l'ho controllata è così, il risultato è 4.

ah, ok e' una espressione allora...

beh capisco che se non hai cominciato trigonometria ti sembra una cosa assurda, in realta' e' una banalita'. Basta sostituire i valori giusti dei seni: sen(pi/2)=1 sen(pi)=sen 0=0 sen (3pi/2)=-1

asp che te lo spieghino perche', oppure vatti a leggere la teoria, queste sono i primi rudimenti di trigonometria.

sempre sulle espressioni...
Se mi trovo 5/2pi
mi conviene fare una proporzione del genere?
pi/2:1=5/2pi:x

altrimenti non so quant'è 5/2 pi greco....

per esempio qui: 4 sen 2pi -3/2 sen pi/2+5/2sen5/2pi -1/2senpi

dovrebbe venire =1

facendo i conti:
quindi 4*2pi=0
-3/2*1= -3/2
5/2*5 (dalla proporzione scritta sopra)=25/2
il resto è uguale a 0

-3/2+25/2 non fa uno! help...

[Buffalmacco]

fryderyk69 ha scritto mer, 09 marzo 2005 alle 17:43
Qundi la risposta giusta è quella con il momento angolare, mi puoi dire anche se ho impostato bene l'equazione?
inizialmente ho solo momento angolare dovuto al proiettile, ma va bene calcolarlo rispetto al centro di massa che avrò una volta che il proiettile colpisce il disco?


Per quanto riguarda gli urti, se questo fosse completamente elastico l'energia si conserverebbe?
E comunque per un urto completamente anaelastio la quantità di moto si conserva o no?

che casino che ho in testa!!!

Il momento angolare si conserva rispetto ad un qualsiasi punto FERMO nello spazio. In questo caso lo puoi fare conservare anche rispetto il CM, perche' i bracci non cambiano nel moto. Senno' lo fai rispetto l'origine delle coordinate.
Se non ci sono vincoli, si conserva anche la quantita' di moto.
In un urto completamente elastico l'energia si conserva, ma in questo caso il proiettile deve rimbalzare indietro (non puo' rimanere attaccato)

[Buffalmacco]

rattilus ha scritto mer, 09 marzo 2005 alle 17:59
[
sempre sulle espressioni...
Se mi trovo 5/2pi
mi conviene fare una proporzione del genere?
pi/2:1=5/2pi:x

altrimenti non so quant'è 5/2 pi greco....

5pi/2 (e non 5/2pi!!!!) e' come pi/2. Questo perche' gli angoli sono gli stessi modulo 2pi (pensaci un'attimo pi/2 e' 90 gradi)

[Chizuru Yoshida]

abbiamo l'angolo MN di 120°, sul quale segnamo il punto A di modo che OA=a, e il punto B sull'altra semiretta in modo che OB=2a. Sulla bisettrice dell'angolo si sceglie il punto P in modo che

OP^2+PA^2=(7/4)PB^2

Quanto vale OP?

Graz.

[Ph@ntom]

Chizuru Yoshida ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 01:48
abbiamo l'angolo MN di 120°, sul quale segnamo il punto A di modo che OA=a, e il punto B sull'altra semiretta in modo che OB=2a. Sulla bisettrice dell'angolo si sceglie il punto P in modo che

OP^2+PA^2=(7/4)PB^2

Quanto vale OP?

Graz.

Perché lo chiami MN, l'angolo?
Non dovrebbe essere difficile, ho usato il teorema di Carnot. Mi viene fuori che OP è uguale a 2a, ti risulta?

[fryderyk69]

Tre domande tratte da un appello, per le prime due vorrei qualche consiglio e per la terza sapere se la mia risposta è esatta

1)Discutere e commentare brevemente il concetto di energia
2)Discutere e commentare sinteticamente i concetti di massa inerziale e massa gravitazionale
3) Specificare le condizioni di validità della seconda legge cardinale della meccanica M^(e)=IW'(w' sta per derivata prima non sapevo come scrivere altrimenti)

per la terza sono giunto a questo conclusione, riferendosi ad un sistema non isolato per un particolare corpo rigido perchè la seconda legge cardinale della dinamica assuma la sua forma semplice dobbiamo scegliere un centro di riduzione per il calcolo del momento appropriato: ovvero, o un punto fisso quindi con velocità nulla, oppure con velocità con direzione parallela alla quantità di moto che si ha nella definizione, oppure centro di riduzione coincidente con il centro di massa. ( spero di essere stato chiaro) inoltre il corpo deve avere velocità angolare w nulla o costante. Sono queste le condizioni?

[Chizuru Yoshida]

Ph@ntom ha scritto gio, 10 marzo 2005 14:09

Chizuru Yoshida ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 01:48
abbiamo l'angolo MN di 120°, sul quale segnamo il punto A di modo che OA=a, e il punto B sull'altra semiretta in modo che OB=2a. Sulla bisettrice dell'angolo si sceglie il punto P in modo che

OP^2+PA^2=(7/4)PB^2

Quanto vale OP?

Graz.

Perché lo chiami MN, l'angolo?
Non dovrebbe essere difficile, ho usato il teorema di Carnot. Mi viene fuori che OP è uguale a 2a, ti risulta?

L'angolo è MON, chiedo scusa.
Dimenticavo, è un problema di mia sorella, seconda superiore, e non sanno ancora cosa siano seni e coseni. 2a è corretto.

[rattilus]

Chizuru Yoshida ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 17:59

[email
Ph@ntom[/email] ha scritto gio, 10 marzo 2005 14:09]

Chizuru Yoshida ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 01:48
abbiamo l'angolo MN di 120°, sul quale segnamo il punto A di modo che OA=a, e il punto B sull'altra semiretta in modo che OB=2a. Sulla bisettrice dell'angolo si sceglie il punto P in modo che

OP^2+PA^2=(7/4)PB^2

Quanto vale OP?

Graz.

Perché lo chiami MN, l'angolo?
Non dovrebbe essere difficile, ho usato il teorema di Carnot. Mi viene fuori che OP è uguale a 2a, ti risulta?

L'angolo è MON, chiedo scusa.
Dimenticavo, è un problema di mia sorella, seconda superiore, e non sanno ancora cosa siano seni e coseni. 2a è corretto.

dammi 5 minuti e te lo risolvo

[rattilus]

rattilus ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 18:06

Chizuru Yoshida ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 17:59

[email
Ph@ntom[/email] ha scritto gio, 10 marzo 2005 14:09]

Chizuru Yoshida ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 01:48
abbiamo l'angolo MN di 120°, sul quale segnamo il punto A di modo che OA=a, e il punto B sull'altra semiretta in modo che OB=2a. Sulla bisettrice dell'angolo si sceglie il punto P in modo che

OP^2+PA^2=(7/4)PB^2

Quanto vale OP?

Graz.

Perché lo chiami MN, l'angolo?
Non dovrebbe essere difficile, ho usato il teorema di Carnot. Mi viene fuori che OP è uguale a 2a, ti risulta?

L'angolo è MON, chiedo scusa.
Dimenticavo, è un problema di mia sorella, seconda superiore, e non sanno ancora cosa siano seni e coseni. 2a è corretto.

dammi 5 minuti e te lo risolvo

Allora: il triangolo MON diviso a metà da due angoli da 60°

scegli sulla bisettrice un punto P. tu sai che AOP è di 60° OAP è di novanta, di conseguenza OPA è di 30. Hai il classico triangolo 30-60-90 pur cui valgono le seguenti leggi: ipotenusa è uguale ad 1, cateto minore = 1/2, cateto maggiore= sqrt(3)/2

quindi OA è uguale ad 1/2, OP= 1

Quindi OP=2a
Adesso per verificare che hai scelto bene il punto P sostituisci quello che ho detto alla distanza e viene: 1+3/4=7/4PB

7/4=7/4Pb Ovviamente PB è uguale ad 1

ciao! Altro problema risolto!

[Chizuru Yoshida]

Perché OAP di 90°???

[rattilus]

Chizuru Yoshida ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 18:57
Perché OAP di 90°???

THA! AH! la somma degli angoli di un triangolo qualunque esso sia è di 180° e perchè un cateto di 60° ha come segmento perpendicolare l'altro cateto che è quindi di 90 gradi

[Chizuru Yoshida]

So che la somma interna degli angoli è 180°, non capisco perchè PAO debba essere di 90, o perché OPA sia di 30°, se preferisci.

[rattilus]

Chizuru Yoshida ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 19:51
So che la somma interna degli angoli è 180°, non capisco perchè PAO debba essere di 90, o perché OPA sia di 30°, se preferisci.

posso spiegartelo per geometria analitica ma tua sorella ancora non la fa.... oppure con i radianti. altrimenti non so come fare

[fryderyk69]

fryderyk69 ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 17:55
Tre domande tratte da un appello, per le prime due vorrei qualche consiglio e per la terza sapere se la mia risposta è esatta

1)Discutere e commentare brevemente il concetto di energia
2)Discutere e commentare sinteticamente i concetti di massa inerziale e massa gravitazionale
3) Specificare le condizioni di validità della seconda legge cardinale della meccanica M^(e)=IW'(w' sta per derivata prima non sapevo come scrivere altrimenti)

per la terza sono giunto a questo conclusione, riferendosi ad un sistema non isolato per un particolare corpo rigido perchè la seconda legge cardinale della dinamica assuma la sua forma semplice dobbiamo scegliere un centro di riduzione per il calcolo del momento appropriato: ovvero, o un punto fisso quindi con velocità nulla, oppure con velocità con direzione parallela alla quantità di moto che si ha nella definizione, oppure centro di riduzione coincidente con il centro di massa. ( spero di essere stato chiaro) inoltre il corpo deve avere velocità angolare w nulla o costante. Sono queste le condizioni?

Nessuno ha letto e mi sa rispondere?

[rattilus]

fryderyk69 ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 20:35

fryderyk69 ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 17:55
Tre domande tratte da un appello, per le prime due vorrei qualche consiglio e per la terza sapere se la mia risposta è esatta

1)Discutere e commentare brevemente il concetto di energia
2)Discutere e commentare sinteticamente i concetti di massa inerziale e massa gravitazionale
3) Specificare le condizioni di validità della seconda legge cardinale della meccanica M^(e)=IW'(w' sta per derivata prima non sapevo come scrivere altrimenti)

per la terza sono giunto a questo conclusione, riferendosi ad un sistema non isolato per un particolare corpo rigido perchè la seconda legge cardinale della dinamica assuma la sua forma semplice dobbiamo scegliere un centro di riduzione per il calcolo del momento appropriato: ovvero, o un punto fisso quindi con velocità nulla, oppure con velocità con direzione parallela alla quantità di moto che si ha nella definizione, oppure centro di riduzione coincidente con il centro di massa. ( spero di essere stato chiaro) inoltre il corpo deve avere velocità angolare w nulla o costante. Sono queste le condizioni?

Nessuno ha letto e mi sa rispondere?

Io faccio il quarto scientifico ma credo di poter imbastire un discorsetto sulla prima domanda... se ti interessa inizio a scrivere... solo che stai all'università non so che livello pretendono. Io però ci so fare.

[Chizuru Yoshida]

rattilus ha scritto gio, 10 marzo 2005 20:01

Chizuru Yoshida ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 19:51
So che la somma interna degli angoli è 180°, non capisco perchè PAO debba essere di 90, o perché OPA sia di 30°, se preferisci.

posso spiegartelo per geometria analitica ma tua sorella ancora non la fa.... oppure con i radianti. altrimenti non so come fare

Spiega spiega... un angolo è di 60°... devo sapere almeno quanto vale un altro ngolo per ricavare il terzo... e non capisco perché OAP debba essere retto, sinceramente.

[rattilus]

Ho un problema (ancora?!) con il sen e cos...

ok se sono 3/2...5/2...7/2 di un seno e di un coseno riporto tutto sulla circonferenza e capisco se vale +1/-1 oppure 0...

ma se ho scritto sin 3/4 oppure 6/5... insomma quando al denominatore non ho due come faccio?

E ancora: se in una espressione ho sin e cos (fino ad ora ho avuto o uno o l'altro, sto facendo un po' di matematica da solo in classe non ci sono ancora arrivati) devo fare qualche proporzione e portare tutto in uno o nell'altro?

TNZ

[Ph@ntom]

rattilus ha scritto sab, 12 marzo 2005 alle 19:39
Ho un problema (ancora?!) con il sen e cos...

ok se sono 3/2...5/2...7/2 di un seno e di un coseno riporto tutto sulla circonferenza e capisco se vale +1/-1 oppure 0...

ma se ho scritto sin 3/4 oppure 6/5... insomma quando al denominatore non ho due come faccio?

E ancora: se in una espressione ho sin e cos (fino ad ora ho avuto o uno o l'altro, sto facendo un po' di matematica da solo in classe non ci sono ancora arrivati) devo fare qualche proporzione e portare tutto in uno o nell'altro?

TNZ

Mannaggia non si capisce niente. Quindi interpreto.
Allora, intendi dire che sai riportare sulla circonferenza (1/2) pi, (3/2)pi, (5/2)pi, (7/2)pi, dove pi è pi greco? Beh, è semplice: corrispondono a 90°, 270°, poi si torna a 90°, ecc...Insomma (1/2)pi=90°. (1/4)pi è invece 45°, agisci di conseguenza. (1/6)pi=30°. Per denominatori intermedi avrai angoli intermedi.
Se vuoi conoscere in gradi un angolo in radianti basta che ti fai la tua proporzioncina.

[rattilus]

Chizuru Yoshida ha scritto ven, 11 marzo 2005 alle 00:38

rattilus ha scritto gio, 10 marzo 2005 20:01

Chizuru Yoshida ha scritto gio, 10 marzo 2005 alle 19:51
So che la somma interna degli angoli è 180°, non capisco perchè PAO debba essere di 90, o perché OPA sia di 30°, se preferisci.

posso spiegartelo per geometria analitica ma tua sorella ancora non la fa.... oppure con i radianti. altrimenti non so come fare

Spiega spiega... un angolo è di 60°... devo sapere almeno quanto vale un altro ngolo per ricavare il terzo... e non capisco perché OAP debba essere retto, sinceramente.

Un modo è questo: posto OP=1 e OA=1/2, ti fai la proporzione per trovare l'altro angolo.

1:1/2=60:x
x=30°

180-(60+30)=90 l'altro angolo è di novanta gradi.