perchè è meglio cambiare il pacco? [teoria dei giochi inside]

[CX3200]

non ho trovato un titolo più azzeccato



non so quanti di voi conoscano la serie televisiva NUMBERS, ma in una dei tanti episodi il proagonista (un matematico) ha fatto un test sulle probabilità che non ho ben capito, anche perchè l'ha spiegato in 5 secondi



allora siamo ad un gioco a quiz, dove dobbiamo scegliere tra 3 pacchi, dentro uno di questi c'è il superpremio negli altri due fuffa e noi scegliamo un pacco...dopo il presentatore apre uno dei due pacchi rimasti e dentro c'è un premio fuffa...quindi rimaniamo con 2 pacchi (una col superpremio e l'atro col premio fuffa) e abbiamo la possibilita di cambiare pacco se lo vogliamo


ecco il problema è questo, istintivamente ci viene da pensare che cambiere o meno il pacco non faccia nessuna differenza, perchè entrambi hanno il 50% delle possibilità...e invece no, lui afferma che cambiando idea si hanno 2 possibilità su 3 di vincere, invece tenendosi il pacco scelto all'inizio si hanno meno probabilità di vincere....perchè?

[dude]

sicuro che era cosi?

[Ombra_Danzante]

Perchè quando fai la prima scelta hai si 1 su 3 probabilità di beccare il premio, ma se ci pensi hai in realtà anche 2 possibilità su 3 di prendere il cetriolo. A questo punto in prima scelta è piu probabile che NON prendi il premio, se lui ti scopre un cetriolo ne risulta che molto probabilmente tu hai beccato il secondo cetriolo. Da cui una volta che sai che su uno ci sta il cetriolo è piu conveniente cambiarlo. (poi murphy vorrà che un quiz reale perderai così il superpremio che avevi beccato subito )

Penso che applicando le probabilità condizionate venga fuori subito il conto, ma io fondamentalmente ho sempre odiato e ripudiato la statistica. Qualcuno te lo esporrà sicuramente meglio di me.

[dude]

continuo a non capire...

scusa ma quando rimangono 2 pacchi,
l'evento statistico no si riazzera?
ho 2 pacchi 1 col premio 1 senza, 50/50?

la statistica ha memoria?
se si avrebbero ragione quelli che aspettano il numero che non esce da tanto al lotto....

[Scott]

se lui ti scopre un cetriolo ne risulta che molto probabilmente tu hai beccato il secondo cetriolo

per quale motivo?

[Ronin]

chiameremo i tre pacchi A, B e C.le possibilità sono tre:
1:A-vuoto B-premio C-vuoto
2:A-premio B-vuoto C-vuoto
3:A-vuoto B-vuoto C-premio

supponiamo di scegliere A (è la prima scelta, è indifferente); la probabilità che sia pieno è di 1/3 (1 caso su 3). il presentatore ne sceglie uno tra B e C, e questo risulta vuoto.
la probabilità di imbeccare uno vuoto tra i due residui è di 4/6 (ci sono 6 opzioni possibili: 3 combinazioni di vuoto/pieno più due scelte possibili di pacco) cioè di 2/3.
A questo punto però, la probabilità che l'altro pacco rimasto in mano al presentatore sia pieno è di 2/4 (cioè del 50%).
Infatti, per come sono andate le cose, nel caso 1 il presentatore per forza ha scelto C, nel caso 2 può aver scelto o B o C, nel caso 3 per forza ha scelto B.

Quindi abbiamo ancora due possibilità, o ci teniamo il pacco scelto oppure lo cambiamo.
si vede bene che, se lo cambio ho 2 possibilità su 3 di far centro: nel caso 1 infatti A è vuoto e B pieno, nel caso 2 A è pieno e B e C entrambi vuoti, nel caso 3 A è vuoto e C pieno.

non è che la statistica ha memoria, è che anche la scelta fatta dal presentatore è un evento (con una certa probabilità) che va considerato.

PS: al lotto non si vince perchè nell'estrazione successiva i numeri che sono usciti vengono rimessi nel mucchio...

[dude]

allora siamo ad un gioco a quiz, dove dobbiamo scegliere tra 3 pacchi, dentro uno di questi c'è il superpremio negli altri due fuffa e noi scegliamo un pacco...dopo il presentatore apre uno dei due pacchi rimasti e dentro c'è un premio fuffa...quindi rimaniamo con 2 pacchi (una col superpremio e l'atro col premio fuffa) e abbiamo la possibilita di cambiare pacco se lo vogliamo

ma quindi il presentatore sa o non sa dove c'e' il premio?

perche se e' scontato che lui apre quello con la "fuffa"e' come dico io...

[Ronin]

no, il presentatore non lo sa.
ma tu sei chiamato a scegliere se cambiare o no DOPO che il presentatore ha aperto uno dei pacchi, e quindi lo sai.
sai cioè che SE il presentatore apre un pacco vuoto, in due casi su 3 ti convien cambiare.

[dude]

continuo a non capire...

1 evento:

scelgo 1 su 3 ok?

il presentatore ne toglie uno vuoto.


2 evento:

ho la possibilita' di scegliere se cambiare pacco:

scelgo 1 su 2


siate piu chiari perche sto lavorando( si vede) e fa caldo e vorrei capirla...

[Ronin]

devi leggere meglio il mio messaggio.

tre casi possibili:
1:A-vuoto B-premio C-vuoto
2:A-premio B-vuoto C-vuoto
3:A-vuoto B-vuoto C-premio

io scelgo A (o B o C, è indifferente), il presentatore sceglie uno vuoto dagli altri due.
allora nel caso 1 ha scelto PER FORZA C, nel caso 3 ha scelto PER FORZA B. In entrambi i casi, cambiando prendo il premio, solo nel caso 2 cambiando non prendo niente.
quindi cambiando prendo il premio in 2 casi su 3.

tu consideri i due eventi slegati, come se il presentatore ti togliesse di mano il pacco e lo mischiasse col suo in modo da non poterli più distinguere. ma non è così.

[Scott]

devi leggere meglio il mio messaggio.

tre casi possibili:
1:A-vuoto B-premio C-vuoto
2:A-premio B-vuoto C-vuoto
3:A-vuoto B-vuoto C-premio

io scelgo A (o B o C, è indifferente), il presentatore sceglie uno vuoto dagli altri due.
allora nel caso 1 ha scelto PER FORZA C, nel caso 3 ha scelto PER FORZA B. In entrambi i casi, cambiando prendo il premio, solo nel caso 2 cambiando non prendo niente.
quindi cambiando prendo il premio in 2 casi su 3.

tu consideri i due eventi slegati, come se il presentatore ti togliesse di mano il pacco e lo mischiasse col suo in modo da non poterli più distinguere. ma non è così.

Quello che non mi torna è questo:
tu scegli il pacco A e il presentatore apre (casualmente) un pacco vuoto.
A questo punto la situazione 1 e la 3 sono coincidenti, nel senso che a te non cambia nulla se il pacco restante si chiama B o C.
Tu hai un pacco che non sai cosa contiene e ne hai di fronte un altro che non sai cosa contiene. Puoi scegliere se tenere il tuo o cambiarlo: a me sembra la stessa identica situazione di avere davanti due pacchi (di cui uno solo vincente) e la possibilità di sceglierne solo uno.
Dove sbaglio?

[dude]

ho capito.
la cosa che mi torna ancora poco,
oltre al fatto della distinzione dei due eventi che nessuno mi togliera' dalla testa ,

e' questo, che vi prego di sforzarvi di capire...:

se all' inizio ho avuto i 2/3 di probabilita' di beccare un pacco vuoto, poi avro' 2/3 cambiandolo di vincere.

se all' inizio ho avuto 1/3 di probabilita' di beccare un pacco col premio avro allora 1/3 di probabilita cambiandolo di perderlo:


che nel confronto diretto sembra tanto l' 1/2 finale....che ipotizzavo...

[Ronin]

non so rispondere al quesito posto in questa maniera, se non ribadendo che il metodo corretto è esaminare tutti i casi possibili.
il confronto che fai non tiene conto del modo in cui è posta la domanda: tu ti trovi nella situazione in cui la prima scelta è un dato del problema, e non una possibilità (dunque, non è logico considerarla nel modo in cui lo fai).

[dude]

per la cronaca , si chiama
Monty Hall Problem

[golem101]

Perchè dal punto di vista matematico il vantaggio è istantaneo (passare dal 33% al 50%, quando si riducono i pacchi da 3 a 2) al solo atto di compiere la scelta, e non nella probabilità complessiva di vincita/perdita.

Matematicamente parlando, è la sola operazione quella che conta, e quindi è perfettamente sensato parlare di maggiore vantaggio nel fare una nuova scelta, considerando quella precedente azzerata e quindi nulla.
Pragmaticamente, ci sono dei limiti effettivi sotto gli occhi di tutti.

[MscG]

Quello che non mi torna è questo:
tu scegli il pacco A e il presentatore apre (casualmente) un pacco vuoto.
A questo punto la situazione 1 e la 3 sono coincidenti, nel senso che a te non cambia nulla se il pacco restante si chiama B o C.
Tu hai un pacco che non sai cosa contiene e ne hai di fronte un altro che non sai cosa contiene. Puoi scegliere se tenere il tuo o cambiarlo: a me sembra la stessa identica situazione di avere davanti due pacchi (di cui uno solo vincente) e la possibilità di sceglierne solo uno.
Dove sbaglio?

Con la frase che ho evidenziato hai fissato a priori un evento, quindi tutte le probabilità che calcoli dopo sono probabilità condizionate a quell'evento fissato, che sai essersi verificato (o che sicuramente si verificherà). Infatti, se sai che verrà aperto un pacco vuoto PRIMA di scegliere il tuo la probabilità di prendere il premio è 1/2. La probabilità totale, invece, la devi calcolare tenendo conto di tutti i casi possibili, come esposto da Ronin.
Per rendere di più l'idea, per come hai fatto tu l'esempio, tu sai già che il conduttore aprirà un pacco vuoto, quindi la scelta è come se fosse tra pacco pieno/pacco vuoto, mentre nel calcolo fatto da Ronin tu ricalcoli le probabilità nell'eventualità che il conduttore apra un pacco vuoto, che è ben diverso!

[Flashgun]

Il quesito del primo post è meglio noto come paradosso di Monty Hall e si risolve semplicemente,chiarendo da subito che:
-Il conduttore apre un pacco fuffa.
-Il giocatore può sempre scegliere di cambiare pacco.
Ipotizzando che:
-Il pacco A è fuffa.
-Il pacco B è fuffa.
-Il pacco C è vincente.
Conseguono i seguenti casi:
1-Il giocatore sceglie il pacco A .Il conduttore apre per forza il pacco B.Se si cambia pacco si vince il superpremio(pacco C) altrimenti fuffa (pacco A).
2-Il giocatore sceglie il pacco B.Il conduttore apre per forza il pacco A.Se si cambia pacco si vince il superpremio(pacco C) altrimenti fuffa (pacco B)
3-Il giocatore sceglie il pacco C.Il conduttore apre a caso il pacco A o B.Se si cambia pacco si prende fuffa(pacco A/B a seconda della scelta del conduttore) altrimenti si vince il superpremio (pacco C)

Quindi,cambiando sempre pacco,nei 2/3 dei casi si vince;mantenendo sempre il pacco nei 2/3 dei casi si perde!Questa è detta una soluzione "controintuitiva" perchè la teoria delle probabilità porterebbe a pensare immediatamente di avere un 50% di possibilità anche quando non è così.

Chiaramente rendendo variabile una qualsiasi delle due condizioni poste ad inizio post i casi cambiano totalmente,ma il primo post pone quelle due condizioni come certe.

Il tutto powered by Wikipedia ovviamente

[Scott]

Con la frase che ho evidenziato hai fissato a priori un evento, quindi tutte le probabilità che calcoli dopo sono probabilità condizionate a quell'evento fissato, che sai essersi verificato (o che sicuramente si verificherà). Infatti, se sai che verrà aperto un pacco vuoto PRIMA di scegliere il tuo la probabilità di prendere il premio è 1/2. La probabilità totale, invece, la devi calcolare tenendo conto di tutti i casi possibili, come esposto da Ronin.
Per rendere di più l'idea, per come hai fatto tu l'esempio, tu sai già che il conduttore aprirà un pacco vuoto, quindi la scelta è come se fosse tra pacco pieno/pacco vuoto, mentre nel calcolo fatto da Ronin tu ricalcoli le probabilità nell'eventualità che il conduttore apra un pacco vuoto, che è ben diverso!

Non volevo dire che so già a priori che il presentatore aprirà un pacco vuoto, ma per fare l'esempio in maniera omogenea al resto del topic ho considerato solo il caso in cui il conduttore involontariamente apre un pacco vuoto. Perchè se apre quello col premio, il gioco è già finito

Cioè non capisco il seguente ragionamento:
conduttore apre pacco vuoto= probabilmente hai anche tu un pacco vuoto
e come questo si possa accompagnare all'altra eventualità (innegabile):
conduttore apre pacco vincente = hai perso poichè hai sicuramente un pacco vuoto.

[Ombra_Danzante]

Non volevo dire che so già a priori che il presentatore aprirà un pacco vuoto, ma per fare l'esempio in maniera omogenea al resto del topic ho considerato solo il caso in cui il conduttore involontariamente apre un pacco vuoto. Perchè se apre quello col premio, il gioco è già finito

Cioè non capisco il seguente ragionamento:
conduttore apre pacco vuoto= probabilmente hai anche tu un pacco vuoto
e come questo si possa accompagnare all'altra eventualità (innegabile):
conduttore apre pacco vincente = hai perso poichè hai sicuramente un pacco vuoto.

Il tutto è dovuto al fatto che la scelta la hai fatta prima che il presentatore aprisse il pacco vuoto, indipendentemente dalla cosa hai 2 probabilità su 3 di avere il pacco vuoto e amen.

[MscG]

Quello che intendevo dire è che i casi 1 e 3 sono coincidenti solo se il presentatore sa dov'è il pacco premio, in quanto in quel caso la probabilità che egli apra un pacco vuoto è 1 e fa cambiare totalmente veste al problema. Se il conduttore sceglie a caso, il fatto di scegliere B o C porta differenze nei casi 1 e 3. Ad esempio, nel caso 1 se il presentatore sceglie B tu perdi sicuramente, mentre nel caso 3 se sceglie B tu puoi ancora vincere. Quindi i due casi sono distinti perchè derivano da scelte diverse, portano alla stessa composizione dei pacchi qualora il presentatore aprisse quello vuoto, ma derivano da percorsi di scelte diverse.
Lo so, è un ragionamento contorto ma proprio perchè è un problema contro-intuitivo è anche difficile spiegarlo!!!

[siriochan]

Mah, io questo esempio non lo ho mai capito se il conduttore apre il pacco vuoto (o la porta con dietro la capra, in talune varianti ), io comunque non so cosa ho nel mio pacco, potrei ugualmente avere il premio o nulla, se cambio avendo il premio perdo, se cambio avendo il vuoto vinco, non mi pare ci sian altre alternative

[Flashgun]

Allora il problema di Monty Hall(quello presentato nel primo post del topic in pratica)sono poste 2 condizioni essenziali:
-Il presentatore apre SEMPRE un pacco vuoto.
-Il giocatore può SEMPRE scegliere di cambiare pacco.
Quindi,date queste 2 condizioni,si procede nel modo che abbiamo elencato parecchie volte sopra.
Se queste 2 condizioni vengono a mancare il problema non diventa più un paradosso controintuitivo,bensì un semplice calcolo di probabilità che esula dal discorso di sopra (ma discuterne non credo sia in OT ),in quanto la domanda era "Perchè è meglio cambiare pacco?" in una situazione analoga al problema di Monty Hall.

Questa è una variante giocabile del problema http://www.made4.it/monty_hall/play.php

P.S:IMO nel caso in cui il presentatore scelga il pacco a caso,sarebbe indifferente cambiare o meno il pacco...

[abaper]

così per completezza.
in number la studentessa NON cambiò il pacco e vinse la macchina

[Thelastangel]

eheh, c'ho messo un po' per convincermene anch'io, ma è la verità!
Se a priori scegli di tenere il pacco, hai 2 possibilità su 3 di beccare una pecora (perchè vale la prima scelta)!
Se invece scegli a priori di cambiare, ogni volta che a prima scelta beccherai una pecora, cambiando beccherai l'auto! (è come se inverti la probabilità)

[siriochan]

il problema è che io non so se ho la pecora e se ho l'auto, faccio una cazzata

aperta la porta con la pecora, se ho l'auto e cambio perdo, se ho l'auto e non cambio vinco, se ho lapecora e cambio vinco, se ho la pecora e tengo ho perso

chissenefrega se alla prima scelta avevo una possibilità su 3 di aver l'auto, dopo l'apertura ho l'auto oppure l'altra pecora

edit: due su tre di aver la pecora, e ok, ma una volta che ho scelto, ho scelto e bon