Problemi [Physics inside]

[alberace]

Problema 1

un nastro ideale è fissato ad una parete e inizia ad allungarsi ortogonalmente a 1m/s.
una formica si trova all'inizio di tale nastro e inizia a camminare verso l'altra estremità, a 1mm/s.
quanto ci mette ad arrivare?
ovviamente non ci mette 1000s, poichè la distanza da percorrere aumenta linearmente, mentre quella già fatta aumenta con legge diversa.
non riesco ad impostare un modello convincente.

[EddieTheHead]

Non son sicuro di aver capito.
Il nastro si "allontana" o si allunga dalla parete alla velocità di 1 m/s.
La formica è posizionata "in punta" del nastro e cammina verso il muro (da cui la punta del nastro si allontana) o è all'inizio del nastro e cammina verso la punta?

[alberace]

mi ero scordato di scrivere che il nastro è lungo 1m.

[JohnnyStecchino]

Se la velocità della formica è rispetto al nastro, il fatto che questo aggiunga lunghezza dietro di lei è del tutto ininfluente.

[EddieTheHead]

Se la velocità della formica è rispetto al nastro, il fatto che questo aggiunga lunghezza dietro di lei è del tutto ininfluente.

Quoto.

Da come hai esposto il problema, il fatto che il nastro sia in movimento è del tutto ininfluente. La formica si muove verso la punta del nastro a 1 mm/s , quindi ci metterà 1000s a percorrere 1 metro.

[Zephir]

Ma se la situazione è come descritta dal disegno, con la formica in partenza dal muro, non dovrebbe mai arrivarci (supposto che il nastro si possa allungare infinitamente)...

[JohnnyStecchino]

Eh ma penso che il nastro si allunghi da dietro, non da davanti. Comunque problema del cazz'.

[alberace]

il nastro di 1m si allunga verso destra, nel disegno.
si allunga, non si muove.

1. da come ci ha dato il problema, sembra che la formica riesca nell'impesa.
2. ho subito dato la risposta (1000s), e mi ha detto che non è così semplice.
3. la formica sembra non arrivarci mai, ma lo spazio percorso si allunga assieme al nastro elastico, per cui in realtà sarebbe corretto di un fattore.

l'unica legge che ho trovato è che la velocità della formica è V=V(0)*(T+2)/(T+1), essendo V(0)=1mm/s.
in pratica V(0)<V<2V(0), essendo lim t->+∞ della funzione che ho trovato 2V(0).

provo a esprimere lo spazio come una serie...

[EddieTheHead]

Ah.
Forse ho capito quello che intendi.
Diciamo che l'elastico si "stretcha" di 1m/s e si porta la formica con sè quindi..
Nel senso: se per ipotesi la formica fosse ferma a metà nastro, e io stirassi il nastro fino ad esempio a 3m, la formica rimarrebbe sempre a metà della nuova lunghezza del nastro (cioè a 1.5m). E' chiaro l'esempio?

..allora facciamo così, prendiamo due oggetti che siano F la formica e P l'estremo del nastro.
Sia X_0 = 0 il punto di partenza della formica, cioè l'estremità del nastro attaccata al muro.
Xp è la posizione di P. Vp è la velocità della punta del nastro, cioè 1m/s (cioè di quanto si "stira" al secondo). Xf è la posizione della formica e V_0 la velocità della formica rispetto al nastro (cioè 1 mm/s).
Ho che:

Xp = 1m + Vp*T
Xf = (V_0 + Vf)*T

Vf è la "parte" di velocità della formica data dall'allungarsi del nastro.
Se pensiamo che, come nell'esempio fatto sopra, la formica immobile rispetto al nastro deve la sua posizione assoluta alla sua posizione rispetto al nastro, cioè il rapporto Xf/Xp non cambia all'allungarsi del nastro (infatti se la formica è ferma all'estremo ancorato al muro, non si muove perchè in X_0 l'allungamento si riduce a 0, quindi Xf/Xp = 0; così se è a metà il rapporto Xf/Xp sarà sempre 0.5; se è posta in punta Xf/Xp =1), possiamo dire che anche le velocità assolute di allungamento del nastro e della formica saranno sempre costanti e quindi Vf sarà sempre data da (Xf/Xp)*Vp.

Quindi:

Xf = V_0*T + (Xf/Xp)*Vp*T
Xf = V_0*T + (Xf/(1 + Vp*T))*Vp*T
Xf*(1 - (Vp*T/(1+Vp*T)) = V_0*T
Xf*(1+Vp*T-Vp*T)/(1+Vp*T) = V_0*T

Xf = V_0*T*(1+Vp*T)

Quando Xf=Xp?

V_0*T*(1+Vp*T) = 1 + Vp*T
V_0*T=1 (la soluzione 1+Vp*T=0 la scartiamo tanto T sarebbe negativa)
T=1/V_0= 1000sec

[Ph@ntom]

Xf = V_0*T + (Xf/Xp)*Vp*T .

Non puoi usare le equazioni ordinarie del moto a velocità costante, qui la velocità Vf=(Xf/Xp)*Vp che scrivi dipende dal tempo.

Bisogna risolvere un'equazione differenziale, anyway. Se indichi con "x" un punto generico del nastro (supponendo che gli estremi siano 0 e 1), allora come già detto hai che il rapporto tra il punto allungato al tempo "t", diciamo L(x,t), e L(1,t) è costante. Ossia

L(x,t)\L(1,t)=x

e L(1,t)=1+vt, con v costante (la velocità dell'estremo 1, =1m/s). Quindi L(x,t)=x (1+vt). Se indichi con y(t) la coordinata della formica al tempo t, hai che

y'(t)=v0+(dL/dt)(v*y(t)/(1+v*t),t)

dove v0 è la velocità della formica "assoluta" (=1mm/s)

Emmò ti risolvi l'eq differenziale. Che sicuramente saprai fare .

[alberace]

le hanno appena iniziate a spiegare-

comunque ho trovato il problema: http://en.wikipedia.org/wiki/Ant_on_a_rubber_rope

[alberace]

io sono giunto a X(t) = X(t-1) * [1+(Z/t)] + 1mm/s * (t+1s)

Z=1s : correttore dimensionale

X(t-1) : la somma dei precedenti spostamenti, ossia lo spazio che la formica si è lasciata alle spalle, ma non ho idea di come affrontare l'equazione con la formula lineare della lunghezza del nastro.

[Ph@ntom]

comunque ho trovato il problema: http://en.wikipedia.org/wiki/Ant_on_a_rubber_rope

Buono a sapersi .

[JohnnyStecchino]

Bellino, non lo conoscevo.