Perchè vale questa equazione?

[Morghen]

Sicuramente vi sarà una motivazione banalissima, ma al momento non ho il tempo di pensarci.
Qualcuno sa dimostrarmi perchè vale la seguente equazione?

arctg(2) + arctg(3) = 135°

[Almodeon]

Sono identità non equazioni. Valgono per definizione.

È come scrivere 1+2=3, o 1/2=0.5

arctg(2) = 63,435
arctg(3) = 71,565
63,435+72.565=136 (contando che ho approssimato a 3 cifre dopo la virgola)

Per quanto riguarda l'altra, la tangente di 60° è radice quadrata di 3 che, elevata alla seconda potenza, dà, appunto, 3.

[Ombra_Danzante]

Applicandi le formule per somme trigonometriche:

parti da arctg(2)+arctg(3)=135° e fai la tg a destra e sinistra

tg(arctg(2)+arctg(3))=[tg(arctg(2))+tg(arctg(3)]/[1-tg(arctg(2))*tg(arctg(3))] =

= [2+3]/[1-6]=-1=tg(135°)

ora se fai arctg(-1) ottieni -45°... ma la arcotangente ha come immagine un angolo a tale che -90°<a<90°

poi è simmetrica rispetto all'origine ed è periodica di periodo 180° da cui Tg(-45°)=-1=Tg(135°)


EDIT: ah giustamente come detto prima non è una dimostrazione ma più che altro una verifica dell'identità scritta.

e quindi facendo le inverse hai la uquaglianza iniziale che hai richeisto.

[Morghen]

tg(arctg(2)+arctg(3))=[tg(arctg(2))+tg(arctg(3)]/[1-tg(arctg(2))*tg(arctg(3))]

Ah ecco, questa formula non me la ricordavo.
Grazie.

tg(a+b) = [tg(a)+tg(b)] / [1 - tg(a)*tg(b)]



E già che ci sono, un'altra domanda: come si risolvono le equazioni del tipo seguente?

arctg(a) + arctg(b) + arctg(c) + ... = d

[siriochan]

eh ma se non ci dici qual è l'incognita sarà ben difficile

[Ombra_Danzante]

Esatto scritte così sono solo verifiche di uguaglianze.. quindi un unico problema di calcolo, ma di risoluzione da fare non esiste niente.

Anche se così a naso per dire farei lo stesso procedimento che ho fatto per 2 numeri iterato più volte,con complicazioni di conti annesse ovviamente, ma bene o male penso che il concetto sia quello... te lo gestisci aseconda della situazione.

[Morghen]

Ehm.. scusate:

arctg(ax) + arctg(bx) + arctg(cx) + ... = d

[Ombra_Danzante]

Uguale poi con le arcotangenti/tangenti che si elidono dovresti arrivare a una cosa in x invece che avere numeri, da cui poi vedi le soluzioni dellé quazione in x.

Humm però effettivamente riguardando se hai una sommatoria di termini poi ti si incapsulano somme di arcotangenti in tangenti... humm.. vediamo...

Edit: risolverla a pezzi con delle sostituzioni di variabili? Non ho provato e ora a 32 gradi non ne ho neanche voglia.

[Morghen]

Uguale poi con le arcotangenti/tangenti che si elidono dovresti arrivare a una cosa in x invece che avere numeri, da cui poi vedi le soluzioni dellé quazione in x.

Humm però effettivamente riguardando se hai una sommatoria di termini poi ti si incapsulano somme di arcotangenti in tangenti... humm.. vediamo...

Edit: risolverla a pezzi con delle sostituzioni di variabili? Non ho provato e ora a 32 gradi non ne ho neanche voglia.

Ehm... suvvia, ti pagherò da bere in un bar (ateo) di Milano...

[Ombra_Danzante]

Comnfermo ch eil procedimento che ho detto prima porta a qualcosa di sensato....

ad esempio se hai tre termini

arctg(ax)+arctg(bx)+arctg(cx)=d

fai come prima spezzando in due la somma...

tg[{arctg(ax)+arctg(bx)}+arctg(cx)] =

= tg[arctg(ax)+arctg(bx)]+tg(arctg(cx))/[1-tg[arctg(ax)+arctg(bx)]tg(arctg(cx))]

ora quando hai tipo tg(arctg(cx)) è uguale a cx... le altre via reiteri il progedimento di somma della tangente... alla fine ottieni un bel po' di frazioni in x da sisteare che sarà ugale a tg(d)

più addendi hai in origine piu volte devi iterare ovviamente...

[Morghen]

Sì ho capito. Ma non è più semplice utilizzare la formula seguente?

[IMG]http://www.***************.it/forum/mhtml:file://C:\Documents and Settings\Giorgio\Desktop\Identità trigonometrica - Wikipedia.mht!http://upload.wikimedia.org/math/7/6/2/76294f437311109123bfa1d0860caa92.png[/IMG]

Tuttavia, è un metodo ancora troppo lungo per i miei scopi...

[Ombra_Danzante]

Sì ho capito. Ma non è più semplice utilizzare la formula seguente?

[IMG]http://www.***************.it/forum/mhtml:file://C:%5CDocuments%20and%20Settings%5CGiorgio%5CDeskto p%5CIdentit%C3%A0%20trigonometrica%20-%20Wikipedia.mht%21http://upload.wikimedia.org/math/7/6/2/76294f437311109123bfa1d0860caa92.png[/IMG]

Tuttavia, è un metodo ancora troppo lungo per i miei scopi...

Quale formula seguente?

EDIT: Firefox non mi visualizza niente, mentre Explore la crocetta rossa, per questo non capisco a cosa ti riferisci.

P.S.: se poi dici quali sono i tuoi scopi magari qualcuno ti può rispondere più chiaramente, i miei post sono solo come avrei fatto io, ma ciò non implica sia unica la cosa (e nemmeno che sia la migliore fra le tante).

[Morghen]

Quale formula seguente?

arctg(a) + arctg(b) = arctg[(a+b) / (1 - ab)]

P.S.: se poi dici quali sono i tuoi scopi magari qualcuno ti può rispondere più chiaramente, i miei post sono solo come avrei fatto io, ma ciò non implica sia unica la cosa (e nemmeno che sia la migliore fra le tante).

I miei scopi? Fare un esame, con ovvi limiti di tempo, in cui si richiede di svolgere problemi che necessitano la risoluzione di tale equazione.

[Ombra_Danzante]

Emm ti sfugge che la cosa che ho postato è la stessa formula tua usata all'inverso, esattamente quella che dicevi di non ricordare.

Npn ti mancava niente allora, le cose sono quelle o la usi in un modo o nell'altra sempre la addizione devi usare.

Che poi fare un esame è generico.. specifica di che si tratta...

[alternat]

quinta elementare...

[Morghen]

Emm ti sfugge che la cosa che ho postato è la stessa formula tua usata all'inverso, esattamente quella che dicevi di non ricordare.

Eh, ma và??

Npn ti mancava niente allora, le cose sono quelle o la usi in un modo o nell'altra sempre la addizione devi usare.

Sì, ma con la formula inversa almeno eviti di portarti dietro le tangenti.

Che poi fare un esame è generico.. specifica di che si tratta...

Automatica.

[Ombra_Danzante]

Eh, ma và??


Sì, ma con la formula inversa almeno eviti di portarti dietro le tangenti.


Automatica.

Bhe certo ma quella inversa non me la ricordavo io, a dire il vero non mi ricordavo manco quella diretta, ricordavo solo seno e coseno e ho recuperato il resto

[Morghen]

Bhe certo ma quella inversa non me la ricordavo io, a dire il vero non mi ricordavo manco quella diretta, ricordavo solo seno e coseno e ho recuperato il resto

Beh, mi sembra ovvio che nessuno abbia il dovere di ricordare formulette a memoria...

PS: ma i moderatori sono tutti così?

[Ronin]

ammetterai che vedere che uno che legge libri di meccanica quantistica in inglese (e dice che "ne devi sapere di matematica") e poi si arena di fronte a problemi come questo, beh, un minimo di perplessità te la crea...

[Ombra_Danzante]

ammetterai che vedere che uno che legge libri di meccanica quantistica in inglese (e dice che "ne devi sapere di matematica") e poi si arena di fronte a problemi come questo, beh, un minimo di perplessità te la crea...

Looool effettivamente l'ho pensato pure io

[Morghen]

ammetterai che vedere che uno che legge libri di meccanica quantistica in inglese (e dice che "ne devi sapere di matematica") e poi si arena di fronte a problemi come questo, beh, un minimo di perplessità te la crea...

LOL! Non ricordarsi la formuletta della arcotangente significa "arenarsi"?? Se l'ho chiesto su questo forum è solo perchè non avevo voglia di andare a (ri)guardarmela su un formulario (cosa che chiunque avrebbe la necessità di fare).
Suppongo che tu invece conosca tutte le identità trigonometriche a memoria...