Da Enigmistica:
ho rifatto un po' il procedimento:
indichiamo con Alfa l'angolo che la lancetta delle ore forma con le 12, con Beta quello dei minuti, mentre H:M:S sono le ore che leggiamo;
le velocità di rotazione delle lancette le indico con Vh per le ore e Vm per i minuti, essendo quindi Vh=30°/h=0.5°/m=(1/120)°/s la velocità angolare della lancetta delle ore e Vm=6°/m=0.1°/s=360°/h quella della lancetta dei minuti...
Siano ora le ore H:M:S. La lancetta delle ore avrà percorso Alfa=Vh*(H+M+S) mentre quella dei minuti avrà descritto un angolo Beta=Vm*(M+S) (dato che ad ogni ora riparte dallo 0, le ore non si contano), in cui H M e S son i numeri interi della notazione H:M:S (edit: a rigore, S può essere pure reale, e non necessariamente troncato all'intero...anzi, è proprio S che dà il tempo ESATTO) mentre nello svolgere le moltiplicazioni Vh e Vm si useranno con le appropriate unità di misura, così da avere alla fine tutto in gradi sessagesimali
La condizione posta nel problema impone quindi che Beta-Alfa=90°, ovvero, sostituendo:
Vm(M+S)-Vh(H+M+S)=90°-->-Vh*H+M(Vm-Vh)+S(Vm-Vh)=90°-- >M(Vm-Vh)=90°+Vh*H+S(Vh-Vm)-->
-->M={90°+Vh*H+S(Vh-Vm)}/(Vm-Vh) ovvero, sostituendo le velocità con le giuste unità di misura:
M={90+30H+S(1/120-1/10)}/(6-0.5)=(90+30H - 11S/120)/5.5
In questa formula H,M e S possono essere anche non interi (edit: non è vero, è un'equazione diofantea, vedi sotto..), ma per sepmlicità si può imporre H=0,1,2,3 etc, trascurando il termine S/60 che è piccolo rispetto agli altri due, e calcolando M, che si arrotonda alla cifra intera più piccola, trascurando quindi le frazioni di minuti, per poi ricavare i secondi tramite la relazione inversa S=120(90+30H-5.5M)/11, che si possono arrotondare pure loro all'intero più piccolo o anche per eccesso
(edit: in effetti non è lecito, ma il problema è un altro)
Calcolando l'orario per la mezzanotte, viene 00.16:21, che è verosimile, però qualcosa non quadra, nella soluzione intuitiva delle 9.00.00, si mette H=9, per cercare appunto quando all'interno dell'orario 9-10 si verifica la condizione cercata; si ottiene M=65'
per avere M=60=0 bisognerebbe metter H=8
oppure porre Vm=0, ossia che la lancetta dei minuti si muova a scatti
il ragionamento però mi pare brillantemente corretto
ora lo riguardo...
edit: forse l'errore sta nelle semplificazioni finali del calcolo: H,M e S DEVONO essere interi, quindi non posso calcolare M trascurando S/60 :sisi