Mi è venuto un dubbio su una dimostrazione... (uso il simbolo dell'euro per l'appartenenza visto che ci assomiglia e != per "diverso")
TEOREMA:
Sia K un campo, P(X) € K[X] != 0, allora il numero di radici di P(X) è minore o uguale al grado di P(X).
DIMOSTRAZIONE:
Usando le proprietà della radice sia "a" radice di P(X) posso scrivere:
P(X) = (X-a)Q(X) con grado(Q(X)) >= 0.
qundi siano a1, ..., an le radici di P(X) e supponiamo per assurdo che esista an+1 (n è il grado di P(X)).
Allora posso scrivere
P(X) = a(X-a1)(X-a2)...(X-an) con a € K e a != 0
ma poichè an+1 è radice
P(an+1) = a(an+1 - a1)(an+1 - a2)...(an+1 - an) = 0
ma tale uguaglianza è assurda perchè an+1 != ai per ogni i € [1,n] e a != 0 per quanto detto, quindi essendo K un campo l'uguaglianza è assurda e an+1 non è radice di P(X).
Ho un dubbio si quest'ultima affermazione. Perchè se K è dominio d'integrità allora non contiene divisori propri dello zero e quindi è giusto dire che l'uguaglianza è assurda. Ma non è detto che un campo non contenga divisori dello zero infatti in un esercizio d'esame diceva che
Z/(3) è campo ma esso contiene divisori dello zero
Quindi come mai in un campo l'uguaglianza è assurda?
Infatti sia F un campo e siano a,b€F tc a*b=0.
Supponiamo a=!0, allora esiste a^-1 e quindi moltiplicando a sinistra
a^-1 * a * b = a^-1 * 0
==> b=0. Dunque ogni volta che in F hai un prodotto =0 almeno uno dei fattori deve essere zero ==> F è un dominio di integrità
Help algebra commutativa part 2 T_T
e != per "diverso")
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