L'angoletto dei problemi matematici e fisici

[fryderyk69]

Domanda di termodinamica; premetto che allo stato attuale ho ancora un po' di confusione:

commentare la variazione di entropia (dopo averla calcolata) delle seguenti trasformazioni reversibili :
1)isoterma
2)adiabatica
3)isobara

A me verrebbe da dire integrando fra uno stato iniziale e finale la seguente formula dS=dQ/T:
1)Q e T rimangono costanti e quindi la deltaS finale =0
2)Q in una trasf ad. è =0 per cui mi verrebbe da dire che lo è anche la variazione di entropia
3)non so che dire

Poi mi viene un altro dubbio; così come è posta la domanda è da considerare delle trasformazioni cicliche o no secondo voi?In caso affermativo per tutte e tre le trasformazioni la variazione di entropia sarebbe 0 o no ?
Ringrazio per le delucidazioni

[Gargoyle]

fryderyk69 ha scritto sab, 11 giugno 2005 alle 17:35
Domanda di termodinamica; premetto che allo stato attuale ho ancora un po' di confusione:
commentare la variazione di entropia (dopo averla calcolata) delle seguenti trasformazioni reversibili :
1)isoterma
2)adiabatica
3)isobara
A me verrebbe da dire integrando fra uno stato iniziale e finale la seguente formula dS=dQ/T:
1)Q e T rimangono costanti e quindi la deltaS finale =0
2)Q in una trasf ad. è =0 per cui mi verrebbe da dire che lo è anche la variazione di entropia
3)non so che dire
Poi mi viene un altro dubbio; così come è posta la domanda è da considerare delle trasformazioni cicliche o no secondo voi?In caso affermativo per tutte e tre le trasformazioni la variazione di entropia sarebbe 0 o no ?
Ringrazio per le delucidazioni

Per quanto riguarda la 2) hai ovviamente ragione, in quel caso deltaS=0. Ma solo perchè si è assunta reversibile la trasformazione!
Per la 1) non ti seguo. T è costante ma il calore scambiato non è certo 0 (perchè dovrebbe esserlo?)
Per i punti 1) e 3) a quest'ora non mi viene in mente nessuna formula semplice per il calcolo dell'entropia, forse bisogna usare le relazioni di Maxwell... a meno che il problema non si riferisse ad un gas perfetto, nel qual caso sarebbe banale, e troveresti la risposta su qualunque libro, per esempio il Mazzoldi-Nigro-Voci.
Infine, se le trasformazioni partono dallo stato termodinamico A(p,V,T)e finiscono allo stato term. A(p,V,T) allora la variazione di S è certamente nulla, come di qualunque altra funzione di stato. Dunque o è una domanda "trabocchetto" o sottintende che le trasformazioni non siano cicliche.

[fryderyk69]

Gargoyle ha scritto sab, 11 giugno 2005 alle 23:02

fryderyk69 ha scritto sab, 11 giugno 2005 alle 17:35
Domanda di termodinamica; premetto che allo stato attuale ho ancora un po' di confusione:
commentare la variazione di entropia (dopo averla calcolata) delle seguenti trasformazioni reversibili :
1)isoterma
2)adiabatica
3)isobara
A me verrebbe da dire integrando fra uno stato iniziale e finale la seguente formula dS=dQ/T:
1)Q e T rimangono costanti e quindi la deltaS finale =0
2)Q in una trasf ad. è =0 per cui mi verrebbe da dire che lo è anche la variazione di entropia
3)non so che dire
Poi mi viene un altro dubbio; così come è posta la domanda è da considerare delle trasformazioni cicliche o no secondo voi?In caso affermativo per tutte e tre le trasformazioni la variazione di entropia sarebbe 0 o no ?
Ringrazio per le delucidazioni

Per quanto riguarda la 2) hai ovviamente ragione, in quel caso deltaS=0. Ma solo perchè si è assunta reversibile la trasformazione!
Per la 1) non ti seguo. T è costante ma il calore scambiato non è certo 0 (perchè dovrebbe esserlo?)
Per i punti 1) e 3) a quest'ora non mi viene in mente nessuna formula semplice per il calcolo dell'entropia, forse bisogna usare le relazioni di Maxwell... a meno che il problema non si riferisse ad un gas perfetto, nel qual caso sarebbe banale, e troveresti la risposta su qualunque libro, per esempio il Mazzoldi-Nigro-Voci.
Infine, se le trasformazioni partono dallo stato termodinamico A(p,V,T)e finiscono allo stato term. A(p,V,T) allora la variazione di S è certamente nulla, come di qualunque altra funzione di stato. Dunque o è una domanda "trabocchetto" o sottintende che le trasformazioni non siano cicliche.

La domanda dovrebbe essere presa da un esame vecchio, non ho il testo originale quindi potrebbe anche essere formulata in modo sbagliato. Le equazioni di Maxwell comunque non le abbiamo fatte.

Comunque mi sono letto meglio i mie appunti e credo di aver capito per le prime due domande

Per la 1 se non ho capito male il fatto che la variazione di entropia per una trasformazione adiabatica reversibile e sepmpre uguale a 0 sostanzialmente deriva dalla legge di accrescimento dell'entropia o no?

Per la 2 se consideriamo il sistema sempre in equilibrio termico con un termostato ad esempio, la T rimane sempre costante per cui l'integrale dS=dQ/T diventa immediato e otteniamo che DeltaS=Q/T per cui se il sistema cede calore la variazione di entropia diminuisce ed il contrario se il sistema acquisisce calore. Mentre se consideriamo sistema più termostato, ovvero variazione entropia dell'universo questa è nulla(lo dovrebbe essere comunque anche in tutti gli altri casi o no?)

Per quanto riguarda la mia domanda sul fatto se le trasformazioni in questione siano da considerare come dei cicli, credo che sia da dargli come risposta come un caso particolare. In questo caso infatti indipendentemente dal tipo di trasformazione se abbiamo un ciclo reversibile la deltaS è sempre uguale a 0, teorema di Clausius vero?

Aspetto conferme grazie mille

[Gargoyle]

fryderyk69 ha scritto dom, 12 giugno 2005 alle 10:34

Gargoyle ha scritto sab, 11 giugno 2005 alle 23:02

fryderyk69 ha scritto sab, 11 giugno 2005 alle 17:35
Domanda di termodinamica; premetto che allo stato attuale ho ancora un po' di confusione:
commentare la variazione di entropia (dopo averla calcolata) delle seguenti trasformazioni reversibili :
1)isoterma
2)adiabatica
3)isobara
A me verrebbe da dire integrando fra uno stato iniziale e finale la seguente formula dS=dQ/T:
1)Q e T rimangono costanti e quindi la deltaS finale =0
2)Q in una trasf ad. è =0 per cui mi verrebbe da dire che lo è anche la variazione di entropia
3)non so che dire
Poi mi viene un altro dubbio; così come è posta la domanda è da considerare delle trasformazioni cicliche o no secondo voi?In caso affermativo per tutte e tre le trasformazioni la variazione di entropia sarebbe 0 o no ?
Ringrazio per le delucidazioni

Per quanto riguarda la 2) hai ovviamente ragione, in quel caso deltaS=0. Ma solo perchè si è assunta reversibile la trasformazione!
Per la 1) non ti seguo. T è costante ma il calore scambiato non è certo 0 (perchè dovrebbe esserlo?)
Per i punti 1) e 3) a quest'ora non mi viene in mente nessuna formula semplice per il calcolo dell'entropia, forse bisogna usare le relazioni di Maxwell... a meno che il problema non si riferisse ad un gas perfetto, nel qual caso sarebbe banale, e troveresti la risposta su qualunque libro, per esempio il Mazzoldi-Nigro-Voci.
Infine, se le trasformazioni partono dallo stato termodinamico A(p,V,T)e finiscono allo stato term. A(p,V,T) allora la variazione di S è certamente nulla, come di qualunque altra funzione di stato. Dunque o è una domanda "trabocchetto" o sottintende che le trasformazioni non siano cicliche.

La domanda dovrebbe essere presa da un esame vecchio, non ho il testo originale quindi potrebbe anche essere formulata in modo sbagliato. Le equazioni di Maxwell comunque non le abbiamo fatte.
Comunque mi sono letto meglio i mie appunti e credo di aver capito per le prime due domande
Per la 1 se non ho capito male il fatto che la variazione di entropia per una trasformazione adiabatica reversibile e sepmpre uguale a 0 sostanzialmente deriva dalla legge di accrescimento dell'entropia o no?
Per la 2 se consideriamo il sistema sempre in equilibrio termico con un termostato ad esempio, la T rimane sempre costante per cui l'integrale dS=dQ/T diventa immediato e otteniamo che DeltaS=Q/T per cui se il sistema cede calore la variazione di entropia diminuisce ed il contrario se il sistema acquisisce calore. Mentre se consideriamo sistema più termostato, ovvero variazione entropia dell'universo questa è nulla(lo dovrebbe essere comunque anche in tutti gli altri casi o no?)
Per quanto riguarda la mia domanda sul fatto se le trasformazioni in questione siano da considerare come dei cicli, credo che sia da dargli come risposta come un caso particolare. In questo caso infatti indipendentemente dal tipo di trasformazione se abbiamo un ciclo reversibile la deltaS è sempre uguale a 0, teorema di Clausius vero?
Aspetto conferme grazie mille

Hai confuso la 1) trasf. isoterma con la 2)trasf. adiabatica.
Comunque:
per una trasformazione reversibile si ha che dS=dQ/T. Quindi, visto che il calore scambiato in una trasformazione adiabatica è nullo, anche il deltaS di una adiabatica reversibile è nullo (dQ=0 --> dS=0 --> deltaS=0).
Se la adiabatica fosse stata irreversibile avresti avuto dS>dQ/T (dQ=0 --> dQ/T=0 --> dS>dQ/T --> dS>0).
La diseguaglianza di Clausius (dS>=dQ/T) discende dal principio che l'entropia di un sistema isolato o cresce o resta costante. O viceversa, se preferisci.
Per una trasformazione isobara reversibile si ha che dH=TdS+Vdp=TdS --> dS=dH/T, dove H è la funzione di stato detta entalpia.
Per una isoterma reversibile si ha la formula che hai scritto tu, dS=dQ/T, integrando si ottiene deltaS=Q/T, dove Q è il calore scambiato nella trasformazione. Il problema è che questa espressione ti serve a poco se non è noto Q. Ad occhio per esprimere S in funzione di altre funzioni di stato (perchè Q non è una funzione di stato) non vedo alternativa al passare dalle eq. di Maxwell, che sono anche semplici da ottenere dal fatto che le derivate seconde parziali miste di funzioni di stato sono invarianti rispetto all'ordine con cui si effettuano le derivate.
Se consideriamo poi: un sistema che ha compiuto una trasformazione isoterma reversibile, ed il suo termostato, e assumiamo che l'insieme sistema+termostato sia isolato, allora la variazione di entropia dell'insieme sistema+termostato è nulla. Questo vale anche per qualunque sistema che sia isolato e compia solo trasformazioni reversibili.
Un'ultima puntualizzazione. Se io considero un sistema su cui effettuo una trasformazione ciclica, dallo stato A(p,V,T) al medesimo stato A(p,V,T), allora la variazione di qualunque funzione di stato per il sistema è nulla: deltaS=0, deltaU=0 e così via. Nota che non è affatto necessario assumere che la trasformazione ciclica sia reversibile. Per esempio, se la trasformazione ciclica del sistema è irreversibile, allora il deltaS del sistema è nullo, ma il deltaS dell'ambiente con cui è a contatto il sistema sarà positivo. Se hai capito quest'ultimo punto sei a cavallo, hai capito tutta la termodinamica

PS: un sistema isolato non può compiere una trasformazione ciclica il cui ciclo contenga almeno una trasformazione irreversibile. Quando la termodinamica sfocia nella filosofia (sostituisci "sistema isolato" con "universo").

[Redden Alt Mer]

Oggi ho fatto l'esame di analisi 2 e mi è capitata una serie di cui dovevo determinare il carattere ed era:
1-cos(1/n). Era facile la cosa bastava moltiplicare per n^2 e il limite veniva 1/2 e quindi convergeva... Quello che vi volevo chiedere era una curiosità più che altro: come si calcola l'integrale del cos(1/n)??? Di sicuro è una cavolata ma non ci sono riuscito e quindi ho dovuto cambiare criterio... Qualche suggerimento? Ho sostituito 1/n con t però poi la cosa si complicava con un t^2 sotto e poi integrando per parti non si arriva da nessuna parte.

[Ludwig]

Redden Alt Mer ha scritto ven, 17 giugno 2005 19:55
Oggi ho fatto l'esame di analisi 2 e mi è capitata una serie di cui dovevo determinare il carattere ed era:
1-cos(1/n). Era facile la cosa bastava moltiplicare per n^2 e il limite veniva 1/2 e quindi convergeva... Quello che vi volevo chiedere era una curiosità più che altro: come si calcola l'integrale del cos(1/n)??? Di sicuro è una cavolata ma non ci sono riuscito e quindi ho dovuto cambiare criterio... Qualche suggerimento? Ho sostituito 1/n con t però poi la cosa si complicava con un t^2 sotto e poi integrando per parti non si arriva da nessuna parte.

Non è possibile esplicitare una primitiva di cos(1/x), esattamente come e^(x^2) o 1/log(x)

[fryderyk69]

Qualcuno mi potrebbe gentilmente spiegare il procedimento per calcolare il campo magnetico di una spira circolare percorsa da corrente tramite l'equazione di ampere-maxwell.
Sul libro me la spiega solamente utilizzando l'equazione di LaPlace(che mi sembra più complicata di quella di ampere).
Comunque con la seconda arrivo alla conclusione che B=m0*i/2R(m0 è mu0 considerando ovviamente il centro della spira), con la prima invece, seguendo la dimostrazione per un solenoide(che non è tanto diverso da una spira) non gungo allo stesso risultato. Qualcuno mi sa dire come caspita si fa? Grazie mille

[Gargoyle]

fryderyk69 ha scritto gio, 23 giugno 2005 alle 11:45
Qualcuno mi potrebbe gentilmente spiegare il procedimento per calcolare il campo magnetico di una spira circolare percorsa da corrente tramite l'equazione di ampere-maxwell.
Sul libro me la spiega solamente utilizzando l'equazione di LaPlace(che mi sembra più complicata di quella di ampere).
Comunque con la seconda arrivo alla conclusione che B=m0*i/2R(m0 è mu0 considerando ovviamente il centro della spira), con la prima invece, seguendo la dimostrazione per un solenoide(che non è tanto diverso da una spira) non gungo allo stesso risultato. Qualcuno mi sa dire come caspita si fa? Grazie mille

Ho delle vecchie dispense di Fisica II che forse fanno al caso tuo, ma il sito del mio prof da cui le presi non c'è più, quindi se vuoi posso mandartele per e-mail.
Che esame stai preparando comunque? (prima la termodinamica, ora l'elettromagnetismo...)

[fryderyk69]

Gargoyle ha scritto gio, 23 giugno 2005 alle 15:22

fryderyk69 ha scritto gio, 23 giugno 2005 alle 11:45
Qualcuno mi potrebbe gentilmente spiegare il procedimento per calcolare il campo magnetico di una spira circolare percorsa da corrente tramite l'equazione di ampere-maxwell.
Sul libro me la spiega solamente utilizzando l'equazione di LaPlace(che mi sembra più complicata di quella di ampere).
Comunque con la seconda arrivo alla conclusione che B=m0*i/2R(m0 è mu0 considerando ovviamente il centro della spira), con la prima invece, seguendo la dimostrazione per un solenoide(che non è tanto diverso da una spira) non gungo allo stesso risultato. Qualcuno mi sa dire come caspita si fa? Grazie mille

Ho delle vecchie dispense di Fisica II che forse fanno al caso tuo, ma il sito del mio prof da cui le presi non c'è più, quindi se vuoi posso mandartele per e-mail.
Che esame stai preparando comunque? (prima la termodinamica, ora l'elettromagnetismo...)

Sto preparando fisica due(termo ed elettro nello stesso esame da noi)!!! Ho l'esame la prox settimana, con sto caldo non è proprio il massimo della vita(oltretutto mi fa anche abbastanza schifo). Se me le puoi mandare mi fai un favore, se per caso il file dovesse essere pesante ti prego di mandarmi solo quello che ti ho chiesto perchè ho ancora il 56k. Grazie mille

[Gargoyle]

fryderyk69 ha scritto gio, 23 giugno 2005 alle 16:56

Sto preparando fisica due(termo ed elettro nello stesso esame da noi)!!! Ho l'esame la prox settimana, con sto caldo non è proprio il massimo della vita(oltretutto mi fa anche abbastanza schifo). Se me le puoi mandare mi fai un favore, se per caso il file dovesse essere pesante ti prego di mandarmi solo quello che ti ho chiesto perchè ho ancora il 56k. Grazie mille

Sorry, il file è bello grosso ed a rileggerlo mi accorgo che fa uso del potenziale vettore, e non so se si faccia a tutti i corsi di fisica 2.
Poi non mi riesce mettere un allegato alla mail..

[fryderyk69]

Gargoyle ha scritto gio, 23 giugno 2005 alle 17:01

fryderyk69 ha scritto gio, 23 giugno 2005 alle 16:56

Sto preparando fisica due(termo ed elettro nello stesso esame da noi)!!! Ho l'esame la prox settimana, con sto caldo non è proprio il massimo della vita(oltretutto mi fa anche abbastanza schifo). Se me le puoi mandare mi fai un favore, se per caso il file dovesse essere pesante ti prego di mandarmi solo quello che ti ho chiesto perchè ho ancora il 56k. Grazie mille

Sorry, il file è bello grosso ed a rileggerlo mi accorgo che fa uso del potenziale vettore, e non so se si faccia a tutti i corsi di fisica 2.
Poi non mi riesce mettere un allegato alla mail..

Il potenziale vettore l'abbiamo fatto ma a me interesseva la dimostrazione con ampere-maxwell, grazie lo stesso

[Gargoyle]

Tra pochi giorni ho un esame, e all'orale devo discutere una pubblicazione di meccanica infarcita di errori.
L'argomento è la dinamica molecolare di molecole rigide. Cerco di prenderla "larga".
Nella pubblicazione l'autore (d'ora in poi lo chiamo "Lui") giunge ad un'equazione del moto per un singolo corpo rigido nel sistema del laboratorio, e gli viene (trasformando la Sua notazione incomprensibile in una che abbia senso)
d(Pa)/dt=Fa
dove Pa è la componente a-esima del momento angolare e Fa la componente a-esima della forza generalizzata.
Quest'equazione dovrebbe essere sbagliata per varie ragioni, non ultima quella che l'equazione giusta è già nota ed è quella di Eulero.
Poi Lui scrive l'equazione del moto nel sistema di riferimento della molecola che ruota, e gli viene d(Pa')/dt=Fa'+Delta(a,k,l)*omega'_k*Pm
dove Delta(a,k,l) è il tensore di Levi-Civita, l'apice " ' " intende il sistema della molecola, ed omega'_k è la componente k-esima della velocità angolare vista dalla molecola.
Domanda: è possibile che cambiando sistema di riferimento le equazioni del moto cambino in questo modo?

[Gargoyle]

In questi giorni mi sono posto un dubbio sul passaggio dalla meccanica classica alla meccanica quantistica.
Spesso infatti si dice che si passa dalle variabili classiche p (momento canonico) e q (coordinata generalizzata) ai corrispettivi operatori quantistici ihd/dq e q*.
Anche qui ( http://www.df.unipi.it/~konishi/MQDisp20 04Cap2.pdf ), a
pagina 46, paragrafo 2.1.6 si dice questa cosa.
Che però non è vera.
Infatti il passaggio su detto (a parte i problemi di simmetrizzazione che nascono da termini del tipo p*q) è vero solo se le q sono coordinate cartesiane, e quindi p è il momento lineare, cioè l'impulso.
Ma non è vero per coordinate generalizzate (ad esempio non è vero in coordinate curvilinee).
Il punto è: come si passa da coordinate generalizzate e momenti canonici coniugati della meccanica classica a rispettivi operatori quantistici?

[skywolf]

Gargoyle ha scritto dom, 26 giugno 2005 alle 18:22
Tra pochi giorni ho un esame, e all'orale devo discutere una pubblicazione di meccanica infarcita di errori.
L'argomento è la dinamica molecolare di molecole rigide. Cerco di prenderla "larga".
Nella pubblicazione l'autore (d'ora in poi lo chiamo "Lui") giunge ad un'equazione del moto per un singolo corpo rigido nel sistema del laboratorio, e gli viene (trasformando la Sua notazione incomprensibile in una che abbia senso)
d(Pa)/dt=Fa
dove Pa è la componente a-esima del momento angolare e Fa la componente a-esima della forza generalizzata.
Quest'equazione dovrebbe essere sbagliata per varie ragioni, non ultima quella che l'equazione giusta è già nota ed è quella di Eulero.

se la forza "generalizzata" e' un momento, allora l'eq. mi pare giusta.

Quote:

Poi Lui scrive l'equazione del moto nel sistema di riferimento della molecola che ruota, e gli viene d(Pa')/dt=Fa'+Delta(a,k,l)*omega'_k*Pm
dove Delta(a,k,l) è il tensore di Levi-Civita, l'apice " ' " intende il sistema della molecola, ed omega'_k è la componente k-esima della velocità angolare vista dalla molecola.
Domanda: è possibile che cambiando sistema di riferimento le equazioni del moto cambino in questo modo?

a naso direi di si'.

[skywolf]

Gargoyle ha scritto mar, 30 agosto 2005 alle 08:47
In questi giorni mi sono posto un dubbio sul passaggio dalla meccanica classica alla meccanica quantistica.
Spesso infatti si dice che si passa dalle variabili classiche p (momento canonico) e q (coordinata generalizzata) ai corrispettivi operatori quantistici ihd/dq e q*.
Anche qui ( http://www.df.unipi.it/~konishi/MQDisp20 04Cap2.pdf ), a
pagina 46, paragrafo 2.1.6 si dice questa cosa.
Che però non è vera.
Infatti il passaggio su detto (a parte i problemi di simmetrizzazione che nascono da termini del tipo p*q) è vero solo se le q sono coordinate cartesiane, e quindi p è il momento lineare, cioè l'impulso.
Ma non è vero per coordinate generalizzate (ad esempio non è vero in coordinate curvilinee).
Il punto è: come si passa da coordinate generalizzate e momenti canonici coniugati della meccanica classica a rispettivi operatori quantistici?

Bella domanda. Nel caso del passaggio alle coord. sferiche il mio prof fece un conto, che pero' nn mi pare troppo generalizzabile: anzi era decisamente ad hoc. Tuttavia credo che quando impari le tecniche per esprimere gli operatori differenziali in coordinate qualsiasi (basta solo x il gradiente in effetti) dovresti esserci
Il problema e' quello e nn e' banale. Avevo trovato delle dispense in internet ma nn sono + disponibili o le hanno spostate

[Gargoyle]

skywolf ha scritto mer, 31 agosto 2005 alle 18:33

Gargoyle ha scritto dom, 26 giugno 2005 alle 18:22
Tra pochi giorni ho un esame, e all'orale devo discutere una pubblicazione di meccanica infarcita di errori.
L'argomento è la dinamica molecolare di molecole rigide. Cerco di prenderla "larga".
Nella pubblicazione l'autore (d'ora in poi lo chiamo "Lui") giunge ad un'equazione del moto per un singolo corpo rigido nel sistema del laboratorio, e gli viene (trasformando la Sua notazione incomprensibile in una che abbia senso)
d(Pa)/dt=Fa
dove Pa è la componente a-esima del momento angolare e Fa la componente a-esima della forza generalizzata.
Quest'equazione dovrebbe essere sbagliata per varie ragioni, non ultima quella che l'equazione giusta è già nota ed è quella di Eulero.

se la forza "generalizzata" e' un momento, allora l'eq. mi pare giusta.

Ma La forza generalizzata è un tensore. Il momento è un tensore. Però la derivata di un tensore non è un tensore (ci vorrebbe la derivata covariante... penso...).

[Gargoyle]

skywolf ha scritto mer, 31 agosto 2005 alle 18:45

Gargoyle ha scritto mar, 30 agosto 2005 alle 08:47
In questi giorni mi sono posto un dubbio sul passaggio dalla meccanica classica alla meccanica quantistica.
Spesso infatti si dice che si passa dalle variabili classiche p (momento canonico) e q (coordinata generalizzata) ai corrispettivi operatori quantistici ihd/dq e q*.
Anche qui ( http://www.df.unipi.it/~konishi/MQDisp20 04Cap2.pdf ), a
pagina 46, paragrafo 2.1.6 si dice questa cosa.
Che però non è vera.
Infatti il passaggio su detto (a parte i problemi di simmetrizzazione che nascono da termini del tipo p*q) è vero solo se le q sono coordinate cartesiane, e quindi p è il momento lineare, cioè l'impulso.
Ma non è vero per coordinate generalizzate (ad esempio non è vero in coordinate curvilinee).
Il punto è: come si passa da coordinate generalizzate e momenti canonici coniugati della meccanica classica a rispettivi operatori quantistici?

Bella domanda. Nel caso del passaggio alle coord. sferiche il mio prof fece un conto, che pero' nn mi pare troppo generalizzabile: anzi era decisamente ad hoc. Tuttavia credo che quando impari le tecniche per esprimere gli operatori differenziali in coordinate qualsiasi (basta solo x il gradiente in effetti) dovresti esserci
Il problema e' quello e nn e' banale. Avevo trovato delle dispense in internet ma nn sono + disponibili o le hanno spostate

Mi sono espresso male.
Come si possa scrivere l'hamiltoniano quantistico in coordinate generlizzate lo so. C'è anche sul testo di Kemble.
Il punto è che sul testo di Kemble, prima si scrive l'hamiltoniano in coordinate cartesiane, poi si scrive il Laplaciano in coordinate generalizzate.
Io cercavo un metodo per passare direttamente a scrivere l'hamiltoniano in coordinate generalizzate corretto senza passare dalle coordinate cartesiane.
Faccio copia ed incolla da una e-mail che ho inviato di recente (ed a cui non ho avuto risposta), in cui davo alcuni riferimenti:

A pagina 69 del testo di Messiah "Quantum Mechanics" (edizione North Holland,
volume 1, capitolo II, paragrafo 15), in una piccola nota a fondo pagina,
si dice:
"One can remove this restriction [si riferisce all'uso esclusivo di coordinate
cartesiane] and formulate the correspondence rule in covariant form by adopting
a suitable metric in configuration space, and by replacing the operation
d/dq by the covariant derivative".
Si rimanda poi al testo di Brillouin, "Les Tenseurs en Mécanique et en Elasticité".

Su quest'ultimo libro, alle pagine 199-200, mi pare di capire (il mio francese
non è adeguato) che, come dice Messiah, si possa passare dal momento coniugato
classico al momento coniugato quantistico usando la derivazione covariante
anzichè la normale derivata parziale (formula IX.47).
Vorrei sapere se, facendo la sostituzione in questo modo, si arriva all'espressione
che si trova sul libro di Kemble "The Fundamental Principles of Quantum Mechanics"
(edizione Dover, pagina 238, capitolo VII, sezione 35, formule 35-6 e 35-11)
per l'equazione di Schroedinger in coordinate generalizzate.
Oppure se, al contrario, c'è qualcosa che non ho ben capito.

[skywolf]

Gargoyle ha scritto mer, 31 agosto 2005 alle 19:24

skywolf ha scritto mer, 31 agosto 2005 alle 18:33

Gargoyle ha scritto dom, 26 giugno 2005 alle 18:22
Tra pochi giorni ho un esame, e all'orale devo discutere una pubblicazione di meccanica infarcita di errori.
L'argomento è la dinamica molecolare di molecole rigide. Cerco di prenderla "larga".
Nella pubblicazione l'autore (d'ora in poi lo chiamo "Lui") giunge ad un'equazione del moto per un singolo corpo rigido nel sistema del laboratorio, e gli viene (trasformando la Sua notazione incomprensibile in una che abbia senso)
d(Pa)/dt=Fa
dove Pa è la componente a-esima del momento angolare e Fa la componente a-esima della forza generalizzata.
Quest'equazione dovrebbe essere sbagliata per varie ragioni, non ultima quella che l'equazione giusta è già nota ed è quella di Eulero.

se la forza "generalizzata" e' un momento, allora l'eq. mi pare giusta.

Ma La forza generalizzata è un tensore. Il momento è un tensore. Però la derivata di un tensore non è un tensore (ci vorrebbe la derivata covariante... penso...).

oh signur. Ti ga' rason, fjol, ma...
hai studiato troppa relativita' credo. La derivata di un tensore e' un "jet" che trasforma come un tensore per trasformazioni lineari.
Insomma. Siccome stai studiando dinamica molecolare e non relativita' o meccanica razionale e dunque non stai considerando generiche trasformazioni di coordinate... adeguati!

[skywolf]

Gargoyle ha scritto mer, 31 agosto 2005 alle 19:31

skywolf ha scritto mer, 31 agosto 2005 alle 18:45

Gargoyle ha scritto mar, 30 agosto 2005 alle 08:47
In questi giorni mi sono posto un dubbio sul passaggio dalla meccanica classica alla meccanica quantistica.
Spesso infatti si dice che si passa dalle variabili classiche p (momento canonico) e q (coordinata generalizzata) ai corrispettivi operatori quantistici ihd/dq e q*.
Anche qui ( http://www.df.unipi.it/~konishi/MQDisp20 04Cap2.pdf ), a
pagina 46, paragrafo 2.1.6 si dice questa cosa.
Che però non è vera.
Infatti il passaggio su detto (a parte i problemi di simmetrizzazione che nascono da termini del tipo p*q) è vero solo se le q sono coordinate cartesiane, e quindi p è il momento lineare, cioè l'impulso.
Ma non è vero per coordinate generalizzate (ad esempio non è vero in coordinate curvilinee).
Il punto è: come si passa da coordinate generalizzate e momenti canonici coniugati della meccanica classica a rispettivi operatori quantistici?

Bella domanda. Nel caso del passaggio alle coord. sferiche il mio prof fece un conto, che pero' nn mi pare troppo generalizzabile: anzi era decisamente ad hoc. Tuttavia credo che quando impari le tecniche per esprimere gli operatori differenziali in coordinate qualsiasi (basta solo x il gradiente in effetti) dovresti esserci
Il problema e' quello e nn e' banale. Avevo trovato delle dispense in internet ma nn sono + disponibili o le hanno spostate

Mi sono espresso male.
Come si possa scrivere l'hamiltoniano quantistico in coordinate generlizzate lo so. C'è anche sul testo di Kemble.
Il punto è che sul testo di Kemble, prima si scrive l'hamiltoniano in coordinate cartesiane, poi si scrive il Laplaciano in coordinate generalizzate.
Io cercavo un metodo per passare direttamente a scrivere l'hamiltoniano in coordinate generalizzate corretto senza passare dalle coordinate cartesiane.

ma come siamo esigenti
cmq cio' non vuol forse dire che stai cercando un metodo per sapere,date le coordinate Q, quali siano le corrispondenti P?
poi l'hamiltoniana e' sempre P^2/2M + V(Q)... a meno che tu non ti vada a complicare la vita. V(Q) lo scrivi direttamente e P^2 anche, una volta che sai com'e' fatto P (sto pensando che lavori in rappresentazione Q).

Quote:

Faccio copia ed incolla da una e-mail che ho inviato di recente (ed a cui non ho avuto risposta), in cui davo alcuni riferimenti:

A pagina 69 del testo di Messiah "Quantum Mechanics" (edizione North Holland,
volume 1, capitolo II, paragrafo 15), in una piccola nota a fondo pagina,
si dice:
"One can remove this restriction [si riferisce all'uso esclusivo di coordinate
cartesiane] and formulate the correspondence rule in covariant form by adopting
a suitable metric in configuration space, and by replacing the operation
d/dq by the covariant derivative".
Si rimanda poi al testo di Brillouin, "Les Tenseurs en Mécanique et en Elasticité".

Su quest'ultimo libro, alle pagine 199-200, mi pare di capire (il mio francese
non è adeguato) che, come dice Messiah, si possa passare dal momento coniugato
classico al momento coniugato quantistico usando la derivazione covariante
anzichè la normale derivata parziale (formula IX.47).
Vorrei sapere se, facendo la sostituzione in questo modo, si arriva all'espressione
che si trova sul libro di Kemble "The Fundamental Principles of Quantum Mechanics"
(edizione Dover, pagina 238, capitolo VII, sezione 35, formule 35-6 e 35-11)
per l'equazione di Schroedinger in coordinate generalizzate.
Oppure se, al contrario, c'è qualcosa che non ho ben capito.

Citi testi che non conosco e, onestamente, nn ho il tempo di approfondire la cos... sorry... pero' posso dirti una cosa asd:
prova a fare il conto no? Dici di sapere trasformare l'hamiltoniana da coord. cartesiane ad altri tipi (io solo in coord. sferiche o cilindriche invece )... perfetto... allora prova a usare quella tecnica la' della derivata covariante, e verifica se ottieni lo stesso in un certo numero di casi particolari!

no eh?

[Gargoyle]

skywolf ha scritto gio, 01 settembre 2005 alle 10:05
ma come siamo esigenti

Sorry

skywolf ha scritto gio, 01 settembre 2005 alle 10:05
:
cmq cio' non vuol forse dire che stai cercando un metodo per sapere,date le coordinate Q, quali siano le corrispondenti P?
poi l'hamiltoniana e' sempre P^2/2M + V(Q)... a meno che tu non ti vada a complicare la vita. V(Q) lo scrivi direttamente e P^2 anche, una volta che sai com'e' fatto P (sto pensando che lavori in rappresentazione Q).

Si, stavo pensando nella rappresentazione delle coordinate, con funzioni d'onda e compagnia bella...

skywolf ha scritto gio, 01 settembre 2005 alle 10:05

Citi testi che non conosco e, onestamente, nn ho il tempo di approfondire la cos... sorry... pero' posso dirti una cosa asd:
prova a fare il conto no? Dici di sapere trasformare l'hamiltoniana da coord. cartesiane ad altri tipi (io solo in coord. sferiche o cilindriche invece )... perfetto... allora prova a usare quella tecnica la' della derivata covariante, e verifica se ottieni lo stesso in un certo numero di casi particolari!
no eh?

Il fatto è che nell'hamiltoniano quantistico, di derivate covarianti ne dovrei fare due (e poi confrontare il risultato ottenuto con l'hamiltoniano del libro fio Kemble...), e sinceramente non sono così "sciolto" nell'analisi tensoriale da essere sicuro di saperlo fare...

[Gargoyle]

skywolf ha scritto gio, 01 settembre 2005 alle 09:57

oh signur. Ti ga' rason, fjol, ma...
hai studiato troppa relativita' credo. La derivata di un tensore e' un "jet" che trasforma come un tensore per trasformazioni lineari.
Insomma. Siccome stai studiando dinamica molecolare e non relativita' o meccanica razionale e dunque non stai considerando generiche trasformazioni di coordinate... adeguati!

Sinceramente non ho capito

Comunque sono uno studente di chimica, sicchè la relatività in pratica non so neppure cosa sia

[rattilus]

Berseker85 chiedeva

ciao ragazzi,
sapreste indicarmi un metodo veloce ed efficace per calcolare i punti di massimo/minimo relativi(o locali) fra 2 funzioni a sistema ognuna con il proprio domino?

[Corto]

rattilus ha scritto gio, 22 settembre 2005 alle 17:17
Berseker85 chiedeva

ciao ragazzi,
sapreste indicarmi un metodo veloce ed efficace per calcolare i punti di massimo/minimo relativi(o locali) fra 2 funzioni a sistema ognuna con il proprio domino?

Immagino le due funzioni non si sovrappongano il dominio.
Cmq è come per una funzione normale, solo che devi considerare ogni funzione nel suo dominio e studiare in modo singolare i casi dei punti che separano i domini, se sono contigui.

[Wido]

Gargoyle ha scritto mar, 30 agosto 2005 alle 08:47
In questi giorni mi sono posto un dubbio sul passaggio dalla meccanica classica alla meccanica quantistica.
Spesso infatti si dice che si passa dalle variabili classiche p (momento canonico) e q (coordinata generalizzata) ai corrispettivi operatori quantistici ihd/dq e q*.
Anche qui ( http://www.df.unipi.it/~konishi/MQDisp20 04Cap2.pdf ), a
pagina 46, paragrafo 2.1.6 si dice questa cosa.
Che però non è vera.
Infatti il passaggio su detto (a parte i problemi di simmetrizzazione che nascono da termini del tipo p*q) è vero solo se le q sono coordinate cartesiane, e quindi p è il momento lineare, cioè l'impulso.
Ma non è vero per coordinate generalizzate (ad esempio non è vero in coordinate curvilinee).
Il punto è: come si passa da coordinate generalizzate e momenti canonici coniugati della meccanica classica a rispettivi operatori quantistici?

promuovi le variabili ad operatori e le parentesi di poisson a parentesi di dirac... l'algebra segue di conseguenza. Poi decidi che rappresentazione usare per gli operatori.

[Kendall]

Gargoyle ha scritto dom, 26 giugno 2005 alle 18:22

Domanda: è possibile che cambiando sistema di riferimento le equazioni del moto cambino in questo modo?

Si i sistemi sono inerziali le equazioni del moto rimangono invariate... Nel tuo caso posso ipotizarre che il moto, rispetto ad un sistema delle molecole, non sia inerziale e quindi il moto del corpo rigido possa assumere formule varibili:
mi riferisco alle velocità e accelerazioni di trascinamento...